Составители:
значений функции в узлах х
0
, x
1
, ..х
n
:
nn
k
i
ycycycy +++= ...
1100
)(
(7.5)
Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов y=1, y=x-x
i
, у=(х-x
i
)
n
. Подставляя
последовательно эти выражения в (7.5), получаем систему n + 1 линейных алгебраических уравнений для
определения неизвестных коэффициентов с
0
, с
1
..., с
n
.
ПРИМЕР. Найти выражение для производной ух в случае четырех равноотстоящих узлов (n = 3).
Равенство ( (7.5) запишется в виде
332211001
ycycycycy +++=
′
(7.6)
Используем следующие многочлены:
3
0
2
00
)(,)(,,1 xxyxxyxxyy −=−=−==
(7.7)
Вычислим их производные:
2
00
)(3),(2,1,0 xxyxxyyy −=
′
−=
′
=
′
=
′
(7.8)
Подставляем последовательно соотношения (7.7) и (7.8) соответственно в правую и левую части (7.6) при
х=х1:
0=с
0
*1+с
1
*1+с
2
*1+с
3
*1,
1=с
0
(х
0
-х
0
)+с
1
(х
1
-х
0
)+с
2
(х
2
-х
0
)+с
3
(х
3
-х
0
),
2(х
1
-х
0
)=с
0
(х
0
-х
0
)
2
+с
1
(х
1
-х
0
)
2
+с
2
(х
2
-х
0
)
2
+с
3
(х
3
-х
0
)
2,
3(х
1
-х
0
)
2
=с
0
(х
0
-х
0
)
3
+с
1
(х
1
-х
0
)
3
+с
2
(х
2
-х
0
)
3
+с
3
(х
3
-х
0
)
3
.
Получаем окончательно систему уравнений в виде
с
0
+с
1
+с
2
+с
3
=0
hc
1
+2hc
2
+3hc
3
=1,
hc
1
+4hc
2
+9hc
3
=2,
hc
1
+8hc
2
+27hc
3
=3.
Решая эту систему получаем
h
c
h
c
h
c
h
с
6
1
,
1
,
2
1
,
3
1
3210
−==−=−=
.
Подставляя эти значения в равенство( (7.6), находим выражение для производной:
)632(
6
1
32101
yyyy
h
y −+−−=
′
1.4 Частные производные
Рассмотрим функцию двух переменных u = f(x, у), заданную в табличном виде: u
ij
=f(x,y),где x
i
=x
0
+ih
i
(i= 0, 1,
…,I), y
j
=y
0
+jh
2
(j= 0, 1, J). В !!!Таблица 7.2 представлена часть данных, которые нам в дальнейшем
понадобятся.
Используя понятие частной производной, можем приближенно записать для малых значений шагов h
1
, h
2
1
),(),(
1
h
yxfyhxf
x
y
−
+
≈
∂
∂
,
2
2
),(),(
h
yxfhyxf
y
u
−
+
≈
∂
∂
Воспользовавшись введенными выше обозначениями, получим следующие приближенные выражения
(аппроксимации) для частных производных в узле (xi,yi)отношении конечных разностей:
.,
2
1
1
,1
h
uui
x
u
h
uu
i
x
u
ijj
ij
ijji
j
−
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
Для численного дифференцирования функций многих переменных можно, как !!!а ранее, использовать
интерполяционные многочлены. Однако рассмотрим здесь другой
!!!Таблица 7.2
x
y
xi-2 xi-1 Xi xi+1 xi+2
Yj-2 Ui-2,j-2 Ui-1,i-2 Ui,j-2 Ui+1,j-
2
Ui+2,j-2
Yj-1 Ui-2,j-1 Ui-1,i-1 Ui,j-1 Ui+1,j-
1
Ui+2,j-1
Yj Ui-2,j Ui-1,i Ui,j Ui+1,j Ui+2,j
Yj+1 Ui-
2,j+1
Ui-
1,i+1
Ui,j+2 Ui+1,j+
1
Ui+2,j+1
Yj+2 Ui- Ui- Ui,j+2 Ui+1,j+ Ui+2,j+2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
