Составители:
через x. При интегрировании некоторых функций часто целесообразно осуществлять переход к новой
переменной с помощью подстановки
)(xt
φ
=
, а не
)(tx
ϕ
=
.
2.5 Методы прямоугольников
Итак, функция у=f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и требуется вычислить ее интеграл
∫
b
a
dxxf )(
. Составим
интегральную сумму для f(x) на отрезке [a,b] . Для этого разобьем отрезок[a,b] на n равных между собой
частей с помощью точек:
,
1
x
,2
x
… ,
,k
x
… ,
n
x .
Если длину каждой части мы обозначим через
x
Δ
, так что
n
ab
x
−
=Δ
, то для каждой точки
k
x будем иметь:
xkax
k
Δ
+
=
при
=
k
0, 1, 2, …
.n
Обозначим теперь через
k
y значение подынтегральной функции
)(xf
при xkaxx
k
Δ
+== , то есть
положим
)( xkafy
k
Δ
+
= (k = 0, 1, 2, …, n).
Тогда суммы
∑
=
−
Δ
n
k
k
xy
1
1
и
∑
=
Δ
n
k
k
xy
1
будут интегральными для функции f(x) на отрезке [a,b]. (При
составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции
y=f(x) в точках, являющихся левыми
концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами
этих сегментов.)
По определению интеграла имеем:
∫
∑
=
−
→Δ
Δ=
b
a
n
k
k
x
xydxxf
1
1
0
lim)(
xydxxf
n
k
k
b
a
x
Δ=
∑
∫
=
→Δ
1
0
lim)(
Поэтому в качестве приближенного значения
∫
b
a
dxxf )(
естественно взять интегральную сумму
∑
=
−
Δ
n
k
k
xy
1
1
и
∑
=
Δ
n
k
k
xy
1
, то есть положить:
xydxxf
n
k
k
b
a
Δ≈
∑
∫
=
−
1
1
)(
∑
∫
=
Δ≈
n
k
k
b
a
xydxxf
1
)(
то есть:
)...()(
1210 −
++++
−
≈
∫
n
b
a
yyyy
n
ab
dxxf
(7.10)
∫
++++
−
≈
b
a
n
yyyy
n
ab
dxxf )...()(
321
(7.11)
Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.
В том случае, когда
f(x)≥ 0, формулы (7.10) и (7.11) с геометрической точки зрения означают, что площадь
криволинейной трапеции
aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b,
принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с
основаниями
n
ab
x
−
=Δ
и высотами
0
y ,
1
y
,
2
y
, …,
1−n
y – в случае формулы (7.10) (рисунок 7.1) и
1
y
,
2
y
,
3
y , …,
n
y - в случае формулы (7.11) рисунок 7.2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
