Составители:
Рисунок 7.1 Рисунок 7.2
Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (7.10) и (7.11) способ приближенного
вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть
методом прямоугольников.
Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается
оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически
пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный
способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и
число частей n
разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.
Будем предполагать, что функция
f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что
существует такое число
М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)|
≤
M.
Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции
ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях
абсолютная величина погрешности
n
R будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем
больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность
результата будет заведомо меньше заданного числа
0>
ε
, если взять
ε
2
)(
2
abM
n
−
> (7.12)
Следовательно, для вычисления интеграла
∫
b
a
dxxf )(
с указанной степенью точности достаточно сегмент
[a,b] разбить на число частей, большее числа
ε
2
)(
2
abM
n
−
>
.
Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного
интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.
2.6 Метод трапеций
Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы
(7.10) и (7.11). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно.
Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек
разбиения.
Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей
формул (7.10) и (7.11):
∑
∑∑
∫
−
=
+
−
=
−
=
+
+
⋅
−
=
+
⋅
−
=
1
0
1
1
0
1
0
1
22
)(
n
k
kk
n
k
n
k
kk
b
a
yy
n
ab
yy
n
ab
dxxf
(7.13)
Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика
подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим
трапецию, площадь которой равна
2
1+
+
⋅
−
kk
yy
n
ab
и следовательно, формула (7.13) представляет собой
площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рисунок 7.3) . Из геометрических соображений понятно, что
площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции,
нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемой в методе прямоугольников.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
