Составители:
Рисунок 7.3
Приведя в формуле (7.1) подобные члены, окончательно получим:
)
2
...
2
()(
121
0 n
n
b
a
y
yyy
y
n
ab
dxxf +++++⋅
−
≈
−
∫
(7.14)
Формулу (7.14) называют
формулой трапеций.
Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности
n
R ,
возникающей при замене левой части (7.14) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее
удовлетворяет неравенству:
2
2
3
12
)(
M
n
ab
R
n
⋅
−
≤ (7.15)
где
2
M
- максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.
)(''max
],[
2
xfM
bax∈
=
Шаг численного интегрирования определяется из следующего неравенства:
2
)(
12
Mab
h
⋅−
⋅
≤
ε
Следовательно,
n
R убывает при
∞
→n
. Абсолютная погрешность
n
R будет меньше наперед заданного
числа
0>
ε
если взять
ε
12
)( abM
n
−
>
.
2.7 Метод парабол (метод Симпсона)
Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения
порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол.
Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее
прилегает к кривой
y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей
соответствующих элементарных трапеций,
дограниченных «сверху» угами парабол, являются более близкими к значениям площадей
соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой
y=f(x), чем
значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем.
Отрезок [a,b] делится на
2n равных частей. Пусть точки деления будут
bxxxxxax
nnn
=
=
−− 21222210
,,,...,,
а
n
yyy
210
,..., – соответствующие значения подинтегральной функции на отрезке [a,b]. Произведем
квадратичную интерполяцию данной
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
