Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

точность.
Рассмотрим принцип работы адаптивного алгоритма. Первоначально отрезок [а, b] разбиваем на п частей. В
дальнейшем каждый такой элементарный отрезок делим последовательно пополам. Окончательное число
шагов, их расположение и размеры зависят от подынтегральной функции и допустимой погрешности
ε
.
К каждому элементарному отрезку
[
]
ii
xx ,
1−
применяем формулы численного интегрирования при двух
различных его разбиениях. Получаем приближения
)2(
1
)1(
, II
i
для интеграла по этому отрезку:
.)(
1
∫
−
=
xi
xi
dxxfI
(7.20)
Полученные значения сравниваем и проводим оценку их погрешности. Если погрешность находится в
допустимых границах, то одно из этих приближений принимается за значение интеграла по этому
элементарному отрезку. В противном случае происходит дальнейшее деление отрезка и вычисление новых
приближений. С целью экономии машинного времени точки деления располагаются таким образом, чтобы
использовались вычисленные значения функции в точках предыдущего разбиения.
Например, при вычислении интеграла (7.20) по формуле Симпсона отрезок
[]
ii
xx ,
1−
сначала разбиваем на
две части с шагом h
i
/2 и вычисляем значение
)1(
i
I
.
Потом вычисляем
)2(
i
I
с шагом h
i
/4. Получим выражения:
)]()
2
(4)([
6
11
)1(
i
i
ii
i
i
xf
h
xfxf
h
I +++=
−−
(7.21)
)]()
4
3
(4)
2
(2)
4
(4)([
12
111
)2(
i
ii
i
i
ii
i
i
xf
h
xif
h
xf
h
xfxf
h
I +++++++=
−−−
(7.22)
Формулу (7.22) можно также получить двукратным применением формулы (7.21) для отрезков
][[]
iiiiii
xhxиhxx ,2/2/,
11
+
+
−−
Процесс деления отрезка пополам о вычисления уточненных значений
)2(
1
)1(
, II
i
продолжается до тех пор,
пока их разность станет не больше некоторой заданной величины
i
δ
, зависящей от
ε
и h:
ii
II
δ
≤−
)2(
1
)1(
(7.23)
Аналогичная процедура проводится для всех п элементарных отрезков. Величина
∑
=
=
n
i
i
II
1
принимается в
качестве искомого значения интеграла. Условия (7.23) и соответствующий выбор величин
i
δ
обеспечивают
выполнение условия (7.19).
2.9 Кратные интегралы.
Численные методы используются также для вычисления кратных интегралов. Ограничимся здесь
рассмотрением двойных интегралов вида
∫∫
=
G
dxdyyxfI ),( (7.24)
Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала
случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник:
., dycbxa ≤≤≤
≤
По теореме о
среднем найдем среднее значение функции f(x,y):
∫∫
−−==
G
cdabSdxdyyxf
S
yxf ).)((,),(
1
),(
(7.25)
Будем считать, что среднее значение приближенно равно значению функции в центре прямоугольника, т. Е
),(),( yxfyxf =
, Тогда из (7.25) получим выражение для приближенного вычисления двойного интеграла:
∫∫
≈
G
yxSfdxdyyxf ).(),( (7.26)
2/)(,2/)( dcybax +=+=
Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки
ij
GΔ
:
),...,2,1(,),,...,2,1(,
11
NjyyyMixxx
jjii
=
≤
≤
=
≤≤
−−
.
Применяя к каждой ячейке формулу7.26, получаем

Страницы