Составители:
Пусть
η
- равномерно распределенная на отрезке [0,1] случайная величина. Это означает, что ее плотность
распределения задается соотношением
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
<
=
.1,0
,10,1
,0,0
)(
x
x
x
xP
η
Тогда любая функция
)(
η
ξ
f=
также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно
∫∫
==
∞
∞−
1
0
.)()()( dxxfdxxPxfM
ηξ
Следовательно, читая это равенство в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл
∫
1
0
)( dxxf
может
быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины
ξ
, которая определяется
независимыми реализациями
η
, случайной величины
η
c равномерным законом распределения:
∫
∑
=
=≈
1
0
1
)(
1
),(
n
i
i
f
n
dxdyyxf
ηξ
Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим
∫∫
∑
=
≈
G
n
i
ii
f
n
dxdyyxf
1
),(
1
),(
ξη
где G:
10,10 ≤≤≤≤ yx
;
ii
ξ
η
, — независимые реализации случайных величин
ξ
η
,
равномерно
распределенных на отрезке [0, 1].
Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его
приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом
распределения. Существуют различные способы генерирования -таких чисел.
Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для -выработки случайных величин, однако при
использовании ЭВМ этот способ непригоден, поскольку трудно дважды получить одинаковые совокупности
случайных чисел, которые необходимы при отладке программ.
Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись независимо. Их можно вводить в ЭВМ,
хранить в виде файла на магнитной ленте или магнитном диске коллективного пользования. А еще лучше
заготовить собственный файл случайных чисел.
В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том,
что в памяти хранится некоторый алгоритм выработка таких чисел по мере потребности в них (подобно тому
как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа
генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и
обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками.
ПРИМЕР:
Задача. Методом трапеций с точностью
2
10
−
=
ε
и Симпсона с точностью
4
10
−
=
ε
вычислить
определённый интеграл:
∫
+
1
0
1 x
dx
Замечание. Данный в примере интеграл вычисляется точно:
∫
≈=+=
+
1
0
1
0
69315,02ln)1(ln
1
x
x
dx
Примеры, предлагаемые для самостоятельного решения, не вычисляются точно.
Решение.
1) Метод трапеций.
Исходя из заданной точности
2
10
−
=
ε
, вычислим шаг численного интегрирования:
2
)(
12
Mab
h
⋅−
⋅
≤
ε
[] []
2
)1(
2
max)(''max
3
1:01:0
2
=
+
==
∈∈
x
xfM
xx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
