Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностные методы.
Обычно в теории разностных схем для компактности записи дифференциальные уравнения, начальные и
граничные условия представляются в некотором символическом виде, называемом
операторным. Например,
любое из уравнений
(
)
'
Yfx=
,
(
)
''
Yfx=
,
(
)
2''
YkYfx+=
можно записать в виде
()
LY F x=
. Здесь
L
−
дифференциальный оператор, содержащий операции
дифференцирования; его значение различно для разных дифференциальных уравнений. Область изменения
аргумента
x
можно обозначить через
G
, т. е.
x
G
. В частности, областью
G
при решении обыкновенных
дифференциальных уравнений может быть некоторый отрезок
,ab
⎡
⎤
⎣
⎦
, полуось
0
x
>
( или
0t >
) и т. п.
Дополнительные условия на границе также представляются в операторном виде. Например, любое из условий
()
0YA=
,
(
)
0Ya
=
,
(
)
1Yb
=
,
(
)
'
0YB
=
,
(
)
'
1Ya=
Можно записать в виде
()
lY Ф x=
(
)
x
Г
∈
. Здесь
l
−
оператор начальных или граничных условий,
()
Ф x −правая часть этих условий,
Г
−
граница рассматриваемой области (т.е. точки
0, ,
x
xaxb===
и
т.п.).
Таким образом, исходную задачу для дифференциального уравнения с заданными начальными и граничными
условиями, называемую в дальнейшем
дифференциальной задачей, можно в общем случае записать в виде
(
)
LY F x
=
,
x
G
∈
(8.1)
(
)
lY Ф x
=
,
x
Г
∈
(8.2)
В методе конечных разностей исходное дифференциальное уравнение (8.1) заменяется разностным
уравнением путем аппроксимации производных соответствующими конечно-разностными соотношениями.
При этом в области
G
введем сетку, шаг
0h >
которой для простоты будем считать постоянным.
Совокупность узлов
01
, ,...
x
x
обозначим через
hg
. Значения искомой функции
Y
в узлах сетки заменяются
значениями сеточной функции
hy
, которая является решением разностного уравнения.
Искомую функцию и сеточную функцию будем обозначать соответственно
Y
и
y
, чтобы подчеркнуть их
различие:
Y −
функция непрерывно меняющегося аргумента
x
, а
y
−
дискретная сеточная функция,
определенная на дискретном множестве
{
}
(
)
0,1...
i
hgxi
=
=
. Сеточную функцию, принимающую значения
i
y
в узлах сетки, можно считать функцией целочисленного аргумента i. Итак, дифференциальное уравнение
8.1 заменяется разностным уравнением, которое также можно записать в операторном виде:
hhyhLf
=
,
h
x
g
∈
(8.3)
Здесь
hL −
разностный оператор, аппроксимирующий дифференциальный оператор
L
. Как известно,
погрешность аппроксимации производных, а следовательно, и погрешность аппроксимации (8.3) в некоторой
точке
x
может быть представлена в виде
()
k
x
Oh
ε
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
. При этом говорят, что в данной точке
x
имеет место
аппроксимация
k
-го порядка. Индекс
h
в разностном уравнении (8.3) подчеркивает, что величина шага
является параметром разностной задачи. Поэтому (8.3) можно рассматривать, как целое семейство разностных
уравнений, которые зависит от параметра
h
.
При решении дифференциальных уравнений обычно требуется оценить погрешность аппроксимации не в
одной точке, а на всей сетке
hg
, т.е. в точках
01
, ,...
x
x
В качестве погрешности аппроксимации
h
ε
на
сетке можно принять некоторую величину, связанную с погрешностями аппроксимации в узлах например,
(
)
max ,h
i
x
εε
=
1
2
2
h
i
εε
⎡
⎤
=
∑
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.

Страницы