Составители:
Введем аналогичным образом характерное значение
δ
погрешности решения
h
δ
. Тогда разностная схема
сходится, если
0
δ
→
при
0h→
. Если при этом
()
k
Oh
δ
=
, то говорят, что разностная схема имеет
точность
k -го порядка при сходятся со скоростью
()
k
Oh
.
В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную
дифференциальную задачу, то она сходится
. Иными словами, из устойчивости и аппроксимации разностной
схемы следует ее сходимость.
Это позволяет свести трудную задачу изучения сходимости и оценки порядка
точности разностной схемы к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, что значительно легче.
§2. Задача Коши. Одношаговые методы – метод Эйлера, усовершенствованный метод
Эйлера, метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы - метод Адамса, метод Милна.
2.1 Метод ломаных Эйлера. Метод ломаных применяется для приближенного нахождения значений
x
i
=φ(t
i
) решения φ на некоторой сетке значений аргумента t: t
0
, t
1
= t
0
+ τ, t
2
= t
1
+ τ, φ, t
n
= t
n–1
+ τ; τ — заданное
положительное число, называемое шагом сетки. В применении к уравнению этот метод заключается в
следующем. В точке t = t
i–1
уравнение принимает вид
x′
i–1
= f(t
i–1
, x
i–1
).
Заменим здесь приближенно x′
i–1
конечно-разностным отношением
x
i
– x
i–1
Τ
≈ f(t
i–1
, x
i–1
)
и выразим x
i
:
x
i
≈ x
i–1
+ τf(t
i–1
, x
i–1
).
Если x
0
= φ(t
0
) задать произвольно, то полученная рекуррентная формула позволяет приближенно найти
значения x
1
, x
2
, ... .
Рисунок 8.1
Возвращаясь к образу парка со стрелками-указателями, метод ломаных Эйлера можно представлять себе так
(Рисунок 8.1): из точки (t
0
, x
0
) мы движемся, сообразуясь с указателем, помещенным в этой точке в течение "τ
секунд". Придя (через время τ) в точку (t
1
, x
1
), мы меняем направление, пользуясь указателем в этой точке;
через время τ мы приходим в точку (t
2
, x
2
), опять меняем направление, и т. д.
2.2 Модификации метода Эйлера.
При численном интегрировании дифференциального уравнения первого порядка
y' = F(x,y)
с начальным условием y(x
0
) = y
0
(задача Коши) сначала выбираем фиксированное приращение аргумента
h=(x
f
-x
0
)/n, где x
f
- конечная точка интервала интегрирования, n - число шагов. Затем, применяя процедуру
модифицированного метода Эйлера, вычисляем y
k
по рекурентной формуле:
y
k
= y
k-1
+h[F
k-1
+F(x
k
, y
k-1
+hF
k-1
)]/2
где F
k
= F(x
k
, y
k
).
Можно воспользоваться другой рекурентной формулой:
y
k
= y
k-1
+F(x
k-1
+h/2, y
k-1
+F
k-1
h/2)
т.е. с начальным условием y(x
0
) = y
0
составляют таблицу значений y
k
= y(x
k
), где x
k
= x
0
+ kh (k = 0, 1, 2…n), h =
(b-a)/n, [a, b] – отрезок, на котором ищется решение. Значения y
k+1
определяются по формуле
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
