Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Т.е. сначала вычисляют
)0(
1
+k
y
= y
k
+ hf(x
k
, y
k
),
а затем это значение уточняют по формуле
y
k+1
= y
k
+ h/2 * [f(x
k
, y
k
) + f(x
k+1
, y
k+1
] (i = 1, 2, …)
Погрешность имеет порядок h
3
на каждом шаге.
Задание: составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
методом Эйлера-Коши. Воспользоваться вариантами предыдущей работы. Вычисления выполнять с четырьмя
десятичными знаками. В ответ включать цифры, совпавшие при решении в работах 1 и 2.
Образец
y′=0,185(x
2
+ cos0,7x) + 1,843y
используем формулу:
y
i+1
= y
i
+ h/2 * (y′
i
+ Y
i+1
),
где Y
i+1
= y′(x
i+1
, Y
i+1
) , Y
i+1
= y
i
+ hy
i
Вычисления представим в таблице:
Таблица 8.2
i x
i
y
i
y′
i
hy′
i
Y
i+1
Y′
i+1
y′
I +
Y′
i+1
(y′
I +
Y′
i+1
)h/2
0 0,2 0,25 0,6513 0,0651 0,3151 0,7784 1,4297 0,0715
1 0,3 0,3215 0,7901 0,0790 0,4005 0,9455 1,7356 0,0868
2 0,4 0,4083 0,9599 0,0960 0,5043 1,1495 2,1094 0,1055
3 0,5 0,5138 1,1670 0,1167 0,6305 1,3975 2,5645 0,1282
4 0,6 0,6420 1,4187 0,1419 0,7839 1,6986 2,1173 0,1559
5 0,7 0,7979 1,7244 0,1724 0,9703 2,0635 3,7879 0,1894
6 0,8 0,9873 2,0947 0,2095 1,1968 2,5050 4,5997 0,2300
7 0,9 1,2173 2,5428 0,2543 1,4716 3,0386 5,5814 0,2791
8 1,0 1,4964 3,0844 0,3084 1,8048 3,6830 6,7674 0,3384
9 1,1 1,8348 3,7382 0,3738 2,2086 4,6404 8,1986 0,4099
10 1,2 2,2447 - - - - - -
Решение дают значения x
i
, y
i
(i=0, 1, 2, .., 10) (первые два столбца таблицы).
Сравнивая найденное решение с решением, полученным в работе 1, видим, что они расходятся в последних
цифрах, поэтому в ответ исключим значения, округленные до тысячных.
Ответ:
Таблица 8.3
x
i
y
i
x
i
y
i
0,2 0,25 0,8 0,987
0,3 0,322 0,9 1,217
0,4 0,408 1,0 1,496
0,5 0,514 1,1 1,835
0,6 0,642 1,2 2,245
0,7 0,797
2.4 Метод Эйлера с уточнением
Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение y
k+1
= y(x
k+1
), где y(x) – искомая
функция, а x
k+1
= x
0
+ h(k+1) , k=0, 1, 2… определяется следующим образом:
За начальное приближение берется
y
(0)
k+1
= y
k
+ hf(x
k
, y
k
), где f(x, y) = y′(x, y);
найденное значение y
(0)
k+1
уточняется по формуле:
y
(i)
k+1
= y
k
+ h/2 * [f(x
k
, y
k
) + f(x
k+1
, y
(i-1)
k+1
] (i = 1, 2, …)
Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения
не совпадут.
Все описанные вычисления удобно производить, составив следующие таблицы:
основную таблицу, в которой записывается ответ примера (Таблица 8.4);
таблицу, в которой выполняется процесс последовательных приближений (таблица 8.5); вспомогательную
таблицу, в которой вычисляются значения функции f(x
k
, y
k
) (таблица 8.6).

Страницы