Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

y
k+1
= y
k
+ hf(x
k
, y
k
) (k = 0, 1, 2…n-1)
Погрешность вычислений на каждом шаге составляет Rk = 0,5h
2
y′′(
ε
), где x
k
<=
ε
<=x
k+1
При помощи усовершенствованного метода сначала вычисляют промежуточные значения
x
k + ½
= x
k
+ h/2; y
k + ½
= y
k
+ h/2*f(x
k
, y
k
)
затем находят y
k+1
= y
k
+ hf(x
k + ½
, y
k + ½
) Метод имеет большую точность, чем метод Эйлера.
Задание: Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка усовершенствованным методом ломаных на отрезке [0,2; 1,2] с шагом = 0,1 при начальном условии
y(0,2) = 0,25. Все вычисления выполнить с четырьмя десятичными знаками.
Образец
y′=0,185(x
2
+ cos0,7x) + 1,843y
Используем формулу y
i+1
=y
i
+hy′
i+1/2
, где
y′
i+1/2
= y′ (x
i
+ h/2; y
i+1/2
), y
i+1/2
= y
i
+h/2y
i
Вычисления представим в таблице (учитывая, что h/2=0,05)
Таблица 8.1
i x
i
y
i
y′
i
h/2 * y′
i
x
i
+h/2 y
i+1/2
y′
i+1/2
h * y′
i+1/2
0 0,2 0,25 0,6513 0,0326 0,25 0,2826 0,7145 0,0715
1 0,3 0,3215 0,7901 0,0395 0,35 0,3610 0,8675 0,0868
2 0,4 0,4083 0,9599 0,0480 0,45 0,4563 1,0543 0,1054
3 0,5 0,5137 1,1668 0,0583 0,55 0,5720 1,2816 0,1282
4 0,6 0,6419 1,4185 0,0709 0,65 0,7128 1,5581 0,1558
5 0,7 0,7977 1,7240 0,0862 0,75 0,8839 1,8932 0,1893
6 0,8 0,9870 2,0942 0,1047 0,85 1,0917 2,2989 0,2299
7 0,9 1,2169 2,5421 0,1271 0,95 1,3440 2,7895 0,2790
8 1,0 1,4959 3,0834 0,1542 1,05 1,6501 3,3823 0,3382
9 1,1 1,8341 3,7369 0,1868 1,15 2,0209 4,0974 0,4097
10 1,2 2,2438 - - - - - -
Решение дает значения x
i
, y
i
(i=0, 1, 2, .., 10), полученные в процессе вычислений (первые два столбца
таблицы).
Варианты:
1.
y′= 0,133(x
2
+ sin2x) + 0,872y
2.
y′= 0,215(x
2
+ cos1,5x) + 1,283y
3.
y′= 0,158(x
2
+ sin0,8x) + 1,164y
4.
y′= 0,173(x
2
+ cos0,7x) + 0,754y
5.
y′= 0,221(x
2
+ sin1,2x) + 0,452y
6.
y′= 0,163(x
2
+ cos0,4x) + 0,635y
7.
y′= 0,218(x
2
+ sin1,6x) + 0,718y
8.
y′= 0,145(x
2
+ cos0,5x) + 0,842y
9.
y′= 0,213(x
2
+ sin1,8x) + 0,368y
10.
y′= 0,127(x
2
+ cos0,6x) + 0,573y
11.
y′= 0,232(x
2
+ sin1,4x) + 1,453y
12.
y′= 0,417(x
2
+ cos0,8x) + 0,972y
13.
y′= 0,324(x
2
+ sin1,5x) + 1,612y
14.
y′= 0,263(x
2
+ cos1,2x) + 0,453y
15.
y′= 0,372(x
2
+ sin0,7x) + 0,758y
16.
y′= 0,343(x
2
+ cos0,4x) + 1,315y
17.
y′= 0,276(x
2
+ sin1,6x) + 0,988y
18.
y′= 0,173(x
2
+ cos0,6x) + 1,534y
19.
y′= 0,258(x
2
+ sin0,4x) + 0,724y
20.
y′= 0,317(x
2
+ cos1,4x) + 1,344y
2.3 Метод Эйлера-Коши (Метод Хьюна)
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y′ = f(x,y), удовлетворяющее
начальному условию y(x
0
) = y
0
. При решении задачи методом Эйлера-Коши, который иногда называют
методом Хьюна, приближенное значение y
1
решения y(x) в точке x
1
= x
0
+h, вычисляется по формуле
y
1
=y
0
+[f(x
0
,y
0
)+ f(x
1
,y
0
+hf(x
0
,y
0
))]h/2. f(x
1
,y
0
+hf(x
0
,y
0
) = Y
i+1
Приближенные значения y
i
решения уравнения y(x)
в точках x
i
= x
0
+ih, i= 1, 2,..., n вычисляются по формулам y
i+1
= y
i
+ (f(x
i
,y
i
)+f(x
i+1
,y
i
+ hf(x
i
,y
i
)))h/2. Метод
Эйлера-Коши является одношаговым методом второго порядка. Метод Эйлера-Коши относится к классу
методов прогноза и коррекции. Локальная погрешность метода на одном шаге равна O(h
3
).

Страницы