Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В этом случае
hL
имеет
k
-й порядок аппроксимации на сетке, если
k
h Oh
ε
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
.
Наряду с аппроксимацией (8.3) дифференциального уравнения (8.1) необходимо также аппроксимировать
дополнительные условия на границе (8.2). Эти условия запишутся в виде
hh hly
ϕ
=
,
h
x
γ
∈
(8.4)
Здесь
h
γ
−
множество граничных узлов сетки, т.е.
h Г
γ
⊂
. Индекc h, как и в (8.3), означает зависимость
разностных условий на границе от значения шага.
Совокупность разностных уравнений ( (8.3),( (8.4), аппроксимирующих исходное дифференциальное
уравнение и дополнительные условия на границе, называется
разностной схемой.
ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коши
()
dY
L
YFx
dx
==
,
0
x>
,
0
()Yx A
=
.
Введем равномерную сетку с шагом h, приняв в качестве узлов значения аргумента
01
, ,...
x
x
Значения
сеточной функции, которая аппроксимирует искомое решение в данных узлах, обозначим через
01
, ...
yy
Тогда разностную схему можно записать, например, в виде
1ii
i
hh
yy
L
yf
h
+
−
==
,
0,1,...,i
=
0
y
A
=
.
Здесь
i
f
−
значение правой части разностного уравнения в точке
i
x
. Можно, в частности, принять
(
)
i
i
f
Fx=
. Данная схема имеет первый порядок аппроксимации, т.е.
(
)
h Oh
ε
=
.
Решение разностной задачи, в результате которого находятся значения сеточной функции
i
y
в узлах
i
x
,
приближенно заменяет решение
()
Yx
исходной дифференциальной задачи. Однако не всякая разностная
схема дает удовлетворительное решение, т.е. получаемые значения сеточной функции
i
y
не всегда с
достаточной точностью аппроксимируют значения искомой функции
(
)
i
Yx
в узлах сетки. Здесь важную
роль играют такие понятия, как устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной схемы.
Под
устойчивостью схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от входных данных
(коэффициентов уравнений, правых частей, начальных и граничных условий). Или, другими словами, малому
изменению входных данных соответствует малое изменение решения. В противном случае разностная схема
называется
неустойчивой. Естественно, что для практических расчетов используются устойчивые схемы,
поскольку входные данные обычно содержат погрешности, которые в случае неустойчивых схем приводят к
неверному решению. Кроме того, в расчетах на компьютере погрешности возникают в процессе счета из-за
округлений, а использование неустойчивых разностных схем приводит к недопустимому накоплению этих
погрешностей.
Разностная схема называется
корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных
данных, а также, если эта схема устойчива.
При использовании метода конечных разностей необходимо знать, с какой точностью решение разностной
задачи приближает решение исходной дифференциальной задачи. Рассмотрим погрешность
i
δ
, равную
разности значений искомой функции в узлах сетки и сеточной функции, т.е.
h
hh
Y
y
δ
=−
. Отсюда найдем
h
hh
yY
δ
=−
. Подставляя это значение
h
y
в разностную схему (8.3), (8.4), получаем
hh hh h
LY L f
δ
−
=
,
h
x
g
∈
,
hh hh h
lY l
δ
ϕ
−
=
,
h
x
γ
∈
.
Отсюда
hh h
LR
δ
=
,
hh h
lr
δ
=
.
Здесь
R = L
hhhh
Yf−−
погрешность аппроксимации (невязка) для разностного уравнения, а
r =
hhhh
lY
ϕ
−−
погрешность аппроксимации для разностного граничного условия.
Если ввести характерные значения
R
и
r
невязок
h
R
и
h
r
(например, взять их максимальные по модулю
значения на сетке), то при
()
k
ROh=
и
()
k
rOh=
говорят, что разностная схема 8.7!!!!, 8.8 !!! имеет k-ый
порядок аппроксимации
на решении.

Страницы