Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2449,0
2)01(
1012
2
=
⋅−
⋅
≤
−
h
Необходимо выбрать такой шаг, который удовлетворяет неравенству h < 0,2449 и чтобы на отрезке
интегрирования
[
]
1;0∈x
он укладывался целое число раз. Принимаем h = 0,2. Он удовлетворяет обоим этим
требованиям.
Для подынтегральной функции
1
)1()(
−
+= xxf с независимой переменной
i
x изменяющейся в
соответствии с равенством 2,00
0
⋅
+
=
+
= iihxx
i
5,0
=
i
составляем сеточную функцию с точностью
до второго знака после запятой:
i 0 1 2 3 4 5
x
i
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y
i
1,0 0,83 0,71 0,63 0,56 0,5
Используется формула трапеций численного интегрирования (n=5), получим:
[]
696,0)56,063,071,083,0(5,00,1
2
2,0
2
21
1
0
1
1
0
=+++++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++≈
+
∫
∑
−
=
n
i
in
yyy
h
x
dx
Сравнивая это значение с точным, видим, что абсолютная погрешность не превышает заданной точности
:
ε
01,0696,069315,0 <−
2) Метод Симпсона
Исходя из заданной точности
4
10
−
=
ε
вычисляется шаг численного интегрирования для метода Симпсона:
()
24
1
24
max
5
]1:0[
4
=
+
=
∈
x
M
x
()
165,0
2401
10180
4
4
=
⋅−
⋅
≤
−
h
Необходимо выбрать такой шаг, чтобы он удовлетворял неравенству
165,0≤h
и чтобы на отрезке
интегрирования
[
]
1;0∈x
он укладывался четное число раз. Принимаем
1,0=h
. С этим шагом для
подынтегральной функции
1
)1()(
−
+= xxf формируется сеточная функция с независимой переменной
i
x
изменяющейся по закону
1,00
0
⋅
+
=
+= iihxx
i
,
__
1,0=i ,
10
=
n
,
5
=
m
, причём значения сеточной
функции вычисляются с точностью до четвертого знака после запятой:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
i
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
y
i
1,0 0,9091 0,833 0,7692 0,7143 0,6667 0,6250 0,5882 0,5556 0,5263 0,5000
Далее используем формулу Симпсона для численного интегрирования для данного интеграла. Результат
получим следующий:
[]
69314,0)(2)(45,00,1
3
1,0
1
864297531
1
0
=++++++++++⋅=
+
∫
yyyyyyyyy
x
dx
Сравнение этого значения с точным значением интеграла показывает, что абсолютная погрешность не
превышает заданной точности
ε
:
4
100001,069314,069315,0
−
=<−
Таким образом, за приближенное значение определенного интеграла по методу Симпсона с точностью
4
10
−
=
ε
принимается значение:
∫
≈
+
1
0
6931,0
1 x
dx
Замечание. Ясно, что для большинства интегралов от непрерывных функций первообразная не вычисляется
(однако она существует) и вычисленное приближенное значение сравнивать не с чем, однако шаг численного
интегрирования, вычисленный по заданной точности, гарантирует эту точность вычисления.

Страницы