Составители:
ji
Gij
ji
yxyxfdxdyyxf ΔΔ≈
∫∫
Δ
),(),(
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:
ji
G
ji
M
i
N
j
yxyxfyxf ΔΔ=
∫∫
∑∑
==
),(),(
11
(7.27)
В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или
стягивании их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x, у).
Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается
соотношением
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
−
+
′′
−
Δ
Δ
≈ yyf
N
cd
XXf
M
ab
yx
R
ji
j
i
22
)()(
24
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку
погрешности метода ячеек в виде
)()/1/1(
2222
yxONMOR Δ+Δ≈+≈
Таким образом, формула 7.27 имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать
обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое
число раз, т. е. отношение M/N остается постоянным.
Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев ее целесообразно привести к прямоугольному виду путем
соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного
четырехугольника:
)()(b,xa
21
xyx
ϕ
ϕ
≤
≤≤
≤
. Данную область можно привести к прямоугольному виду
с помощью замены
.10,
)()(
)(
12
1
≤≤
−
−
= t
xx
xy
t
ϕϕ
ϕ
Кроме того, формула (7.27) может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Другим довольно распространенным методом вычисления кратных интегралов является их сведение к
последовательному вычислению определенных интегралов.
Интеграл (7.24) для прямоугольной области можно записать в виде
∫∫ ∫∫
==
G
b
a
b
a
dyyxfxFdxxFdxdyyxf ),()(,)(),(
Для вычисления обоих определенных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные
методы.
Если область G имеет более сложную структуру, то она либо приводится к прямоугольному виду с помощью
замены переменных, либо разбивается на простые элементы.
Для вычисления кратных интегралов используется также метод замены подынтегральной функции
многомерным интерполяционным многочленом. Вычисление коэффициентов этих многочленов для простых
областей обычно не вызывает затруднений.
Существует ряд других численных методов вычисления кратных интегралов. Среди них особое место
занимает метод статистических испытаний, который мы вкратце изложим.
2.10 Метод Монте-Карло.
Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться
статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые
учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принадлежит и метод
статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению
некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.
Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина
ξ
, математическое
ожидание которой равно искомой величине х:
М
ξ
=x.
Проводится серия п независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется)
последовательность п случайных чисел
ξ
1
,
ξ
2
,…,
ξ
n
и по совокупности этих значений приближенно
определяется искомая величина
,/)...(
21
xn
n
≈
+
+
+
=
ξ
ξ
ξ
ξ
,
11
11
x
n
nx
M
nn
MM
n
i
i
n
i
i
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
==
ξξξ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
