Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рисунок 7.4
подинтегральной функции на каждом из отрезков разбиения (заменим дугу графика подинтегральной
функции дугой параболы с вертикальной осью) (Рисунок 7.4)
Приведём без вывода формулу парабол в окончательном виде:
∫
∑∑
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++⋅≈
−
==
−
b
a
m
i
i
m
i
in
yyyy
h
dxxf
1
1
2
1
120
24
3
)(
(7.16)
Если подинтегральная функция
f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную четвертую производную, то для
поправочного члена формулы (7.16) имеет место оценка:
4
4
5
)2(180
)(
M
n
ab
R
n
⋅
−
≤ (7.17)
где
4
M
- максимум модуля четвертой производной подинтегральной функции на отрезке [a,b].
Из формулы (7.17) при заданной точности
ε
получаем шаг:
4
4
)(
180
Mab
h
⋅−
⋅
≤
ε
(7.18)
где
[]
(
)
xfM
IV
bax ;
4
max
∈
=
Cравнивая между собой оценки (7.15) и (7.17), замечаем, что с увеличением n поправочный член формулы
трапеций уменьшается пропорционально величине
2
1
n
, а для формулы парабол – пропорционально величине
4
1
n
, т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники
вычислений оба метода одинаковы.
2.8 Адаптивные алгоритмы.
Из анализа погрешностей методов численного интегрирования следует, что точность получаемых результатов
зависит как от характера изменения подынтегральной функции, так и от шага интегрирования. Будем считать,
что величину шага мы задаем. При этом ясно, что для достижения сравнимой точности при интегрировании
слабо меняющейся функции шаг можно выбирать большим, чем при интегрировании резко меняющихся
функций.
На практике нередко встречаются случаи, когда подынтегральная функция меняется по-разному на отдельных
участках отрезка интегрирования. Это обстоятельство требует такой организации экономичных численных
алгоритмов, при которой они автоматически приспосабливались бы к характеру изменения функции. Такие
алгоритмы называются адаптивными (приспосабливающимися). Они позволяют вводить разные значения
шага интегрирования на отдельных участках отрезка интегрирования. Это дает возможность уменьшить
машинное время без потери точности результатов расчета. Подчеркнем, что этот подход используется обычно
при задании подынтегральной функция y = f(x) в виде формулы, а не в табличном виде.
Программа, реализующая адаптивный алгоритм численного интегрирования, входит обычно в виде
стандартной подпрограммы в математическое обеспечение ЭВМ. Пользователь готовой программы задает
границы отрезка интегрирования а, Ь, допустимую абсолютную погрешность
ε
и составляет блок программы
для вычисления значения подынтегральной функции f(х). Программа вычисляет значение интеграла I с
заданной погрешностью
ε
, т. е.
ε
≤−
∫
b
a
dxxfI )(
(7.19)
Разумеется, не для всякой функции можно получить результат с заданной погрешностью. Поэтому в
программе может быть предусмотрено сообщение пользователю о недостижимости заданной погрешности.
Интеграл при этом вычисляется с максимально возможной точностью, л программа выдает эту реальную

Страницы