Дифференциальное исчисление. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× 23
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d
2
y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d
2
y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ d
3
y. ÷ÏÏÂÝÅ,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d
n−1
y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d
n−1
y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁ-
ÌÏÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ n-Í ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
d
n
y.
äÌÑ n-ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ
d
n
y = y
(n)
(x)(dx)
n
, n = 1, 2, 3, . . .
éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
y
(n)
(x) =
d
n
y
(dx)
n
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 2.3) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÏÌØ-
ËÏ ÐÅÒ×ÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ. ÷ÔÏÒÏÊ É ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÜÔÉÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ.
ðÒÉÍÅÒ 10. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d
3
y ÆÕÎËÃÉÉ y = x
4
− 3x
2
+ 4.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
y
0
(x) = 4x
3
− 6x, y
00
(x) = 12x
2
− 6, y
000
(x) = 24x.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
d
3
y = y
000
(x)(dx)
3
= 24x(dx)
3
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
150. y = e
−x
2
;
151. y = tg x;
152. y = arcsin
x
2
;
153. y =
√
1 + x
2
;
154. y = arctg
1
x
.
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
155. y = arctg
x
2
;
156. y = xe
−x
;
157. y = x
2
sin x;
158. y = x
3
2
x
.
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
159. y = e
x
;
160. y = ln x;
161. y = 3
x
;
162. y = x
m
, m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ;
§3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×                             23

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d2y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d2y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ d 3 y. ÷ÏÏÂÝÅ,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(dn−1y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ dn−1y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁ-
ÌÏÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ n-Í ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
dn y.
    äÌÑ n-ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ
                    dny = y (n) (x)(dx)n,    n = 1, 2, 3, . . .
   éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                                        dn y
                           y (n) (x) =       .
                                       (dx)n
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 2.3) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÏÌØ-
ËÏ ÐÅÒ×ÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ. ÷ÔÏÒÏÊ É ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÜÔÉÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ.
   ðÒÉÍÅÒ 10. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d3y ÆÕÎËÃÉÉ y = x4 − 3x2 + 4.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
           y 0 (x) = 4x3 − 6x,   y 00 (x) = 12x2 − 6,    y 000 (x) = 24x.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                       d3y = y 000 (x)(dx)3 = 24x(dx)3.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
                2
  150. y = e−x ;
  151. y = tg x;
  152. y = arcsin x2 ;
           √
  153. y = 1 + x2;
  154. y = arctg x1 .
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
  155. y = arctg x2 ;
  156. y = xe−x ;
  157. y = x2 sin x;
  158. y = x32x .
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
  159. y = ex ;
  160. y = ln x;
  161. y = 3x ;
  162. y = xm, m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ;

Страницы