Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
Задача С 3 (демоверсия ЕГЭ - 2003). Основание пирамиды MABCD –
ромб ABCD , в котором
∠
A = 60
0
. Все двугранные углы при ребрах ос-
нования пирамиды равны. Плоскость α , параллельная плоскости основа -
ния пирамиды , пересекает высоту МО пирамиды в точке P так , что MP :
PO = 2 : 3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось
которого лежит на высоте пирамиды , а верхнее основание вписано в сече-
ние пирамиды плоскостью α . Найдите объем пирамиды , если объем ци-
линдра равен 9π 3 .
Решение комбинированным методом
1. Обоснование изображения .
1) Проведём (мысленно) из вершины М в каждой боковой грани данной
пирамиды (слайд N4) MABCD ее высоту . Так как все двугранные углы при
ребрах основания пирамиды MABCD равны между собой , то проекции
построенных равных между собой высот боковых граней на основание пи-
рамиды тоже равны. Поэтому основание О высоты МО есть центр окруж -
ности, вписанной в основание А BCD пирамиды. Так как ABCD – ромб по
условию , то О есть точка пересечения его диагоналей (слайд N5). Прове-
дя в ромбе ABCD из точки О перпендикуляр к стороне AD , получим изо-
бражение радиуса ОЕ вписанной в него окружности (слайды N4 и N5).
2) Так как плоскость α параллельна плоскости основания ABCD пирамиды,
то в сечении образуется ромб A
1
B
1
C
1
D
1
, подобный (гомотетичный с
центром М ) ромбу ABCD с коэффициентом подобия (гомотетии)
k =
.
5
2
111
===
MO
MP
AO
PA
AD
DA
Поэтому отношение радиусов r и R окружно-
стей , вписанных соответственно в ромбы A
1
B
1
C
1
D
1
и ABCD , есть
1
.
PEr
ROE
==
2. Алгебраическое моделирование.
1) Введём обозначения. Пусть сторона АВ ромба АВС D , являющегося ос-
нованием пирамиды МАВС D , есть a , её высота МО = Н . Так как площадь
ромба АВС D равна: S
ABCD
= a
2
Sin60
0
=
2
3
2
а
, то искомый объём
пирамиды есть: V
MABCD
=
1
3
S
.
осн
·H =
1
3
·
2
3
2
а
·H =
2
3
6
aH
. Поэтому
задача свелась к вычислению величины a
2
H. 
                                   20



Задача С3 (демоверсия ЕГЭ - 2003). Основание пирамиды MABCD –
                               0
ромб ABCD , в котором ∠ A = 60 . Все двугранные углы при ребрах ос-
нования пирамиды равны. Плоскость α , параллельная плоскости основа-
ния пирамиды , пересекает высоту МО пирамиды в точке P так , что MP :
PO = 2 : 3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось
которого лежит на высоте пирамиды , а верхнее основание вписано в сече-
ние пирамиды плоскостью α. Найдите объем пирамиды , если объем ци-
линдра равен 9π 3 .

                 Решение комбинированным методом
  1. Обоснование изображения.

1) Проведём (мысленно) из вершины М в каждой боковой грани данной
пирамиды (слайд N4) MABCD ее высоту. Так как все двугранные углы при
ребрах основания пирамиды MABCD равны между собой , то проекции
построенных равных между собой высот боковых граней на основание пи-
рамиды тоже равны. Поэтому основание О высоты МО есть центр окруж-
ности, вписанной в основание АBCD пирамиды. Так как ABCD – ромб по
условию , то О есть точка пересечения его диагоналей (слайд N5). Прове-
дя в ромбе ABCD из точки О перпендикуляр к стороне AD , получим изо-
бражение радиуса ОЕ вписанной в него окружности (слайды N4 и N5).
2) Так как плоскость α параллельна плоскости основания ABCD пирамиды,
то в сечении образуется ромб A 1 B1 C 1 D 1 , подобный (гомотетичный с
центром М) ромбу ABCD с коэффициентом подобия (гомотетии)
    AD      A P MP 2
k= 1 1 = 1 =        = . Поэтому отношение радиусов r и R окружно-
     AD     AO MO 5
стей , вписанных соответственно в ромбы A 1B 1C 1D 1 и ABCD , есть
r PE1 2
 =   = .
R OE 5
2. Алгебраическое моделирование.
1) Введём обозначения. Пусть сторона АВ ромба АВСD , являющегося ос-
нованием пирамиды МАВСD , есть a , её высота МО = Н . Так как площадь
                                       0   а2 3
ромба АВСD равна: S ABCD = a 2 Sin60 =            , то искомый объём
                                             2
                          1          1 а2 3           a2 H 3
пирамиды есть: V MABCD = S осн. ·H = ·         ·H =          . Поэтому
                          3          3    2              6
задача свелась к вычислению величины a 2 H.

Страницы