Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
2.3. Задания высокого уровня сложности
Задача С 1 (демоверсия ЕГЭ-2003) . Решите уравнение
2log
12
−
+
5
6
x
x
= log
12
−
−
− 3
2
2
3
xx
+3 .
Решение методом равносильных переходов
Заметим, что при выполнении этого задания выпускники потеряли
экзаменационное время, поторопившись потенцировать уравнение, нахо -
дить его ОДЗ. 1)Преобразуем выражения, стоящие под знаками логариф-
мов, приведя их к общему основанию :
x +
6
5
x
−
=
2
5
xx
x
−+
−
=
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
;
32
23
xx
−
−−
=
()()
3924
23
xx
xx
−−+
−−
=
()()
5
23
x
xx
−
−−
.
Так как в ОДЗ уравнения x ≠ 2 , x ≠3 ,x ≠5 , то в ОДЗ
()()
5
23
x
xx
−
−−
=
()()
1
23
5
xx
x




−
−−
−
.
2)Получаем уравнение, равносильное данному :
2log
12
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
= – log
12
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
+3
⇔
3log
12
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
= 3
⇔
log
12
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
= 1
⇔
(
)
(
)
23
5
xx
x
−−
−
= 12
⇔
2
5612(5),
5;
xxx
x
−+=−
≠
⇔
⇔
2
17660,
5;
xx
x
−+=
≠
⇔
6,
11.
x
x
=
=
Ответ: 6;11.
Задача С 2 (демоверсия ЕГЭ-2003) . При каких значениях параметра a
уравнение 15
*
10
x
– 20 = a – a · 10
1
x
+
не имеет корней?
Решение методом исчерпывающего перебора случаев
Преобразуем данное уравнение, уединив члены, содержащие неизвестную
в его левой части: 15 · 10
x
+ 10а · 10
x
= а + 20
⇔
(
)
а1015
+
· 10
x
= а + 20 .
Введя новую неизвестную t = 10
x
, которая положительна по свойству по-
казательной функции, получим линейное относительно t > 0 уравнение
(
)
а1015
+
· t = a + 20 с параметром a . Поэтому задача сводится (переформу-
лируем её) к нахождению тех значений параметра a, при которых линейное
уравнение либо вообще не имеет корней, либо имеет неположительные
корни (t ≤ 0). 
                                         18


                2.3. Задания высокого уровня сложности
Задача С1 (демоверсия ЕГЭ-2003) . Решите уравнение
                          �       6 �             � 3        2 �
                2log 12 �x +         � = log 12 �        −      � +3 .
                          � x −5�                 �x −2 x −3 �
              Решение методом равносильных переходов
      Заметим, что при выполнении этого задания выпускники потеряли
экзаменационное время, поторопившись потенцировать уравнение, нахо-
дить его ОДЗ. 1)Преобразуем выражения, стоящие под знаками логариф-
мов, приведя их к общему основанию:
                          6        x 2 −5 x +6 ( x −2 )( x −3)
                  x+            =                =                 ;
                        x −5           x −5              x −5
                  3        2       3x −9 −2 x +4            x −5
                      −         =                   =                 .
                x −2 x −3          ( x −2 )( x −3) ( x −2 )( x −3)
Так как в ОДЗ уравнения x ≠ 2 , x ≠3 ,x ≠5 , то в ОДЗ
                                                             −1
                            x −5           �( x −2 )( x −3) �
                                        =�                  � .
                      ( x −2 )( x −3) �� x −5 ��
2)Получаем уравнение, равносильное данному :
 2log 12
         ( x −2 )( x −3) = – log ( x −2 )( x −3) +3 ⇔ 3log ( x −2 )( x −3) = 3
                x −5             12        x −5                12     x −5
⇔ log 12
            ( x −2 )( x −3) = 1 ⇔ ( x −2 )( x −3) = 12 ⇔ ��x2 −5 x +6 =12( x −5), ⇔
                                                          �
                  x −5                 x −5               �x ≠5;
  �
  �x 2 −17 x +66 =0,   �x =6,
⇔ �                  ⇔ �
  �x ≠5;               �x =11.
Ответ: 6;11.

Задача С2 (демоверсия ЕГЭ-2003) . При каких значениях параметра a
                    x
уравнение 15 * 10 – 20 = a – a · 10 x+1 не имеет корней?

          Решение методом исчерпывающего перебора случаев
Преобразуем данное уравнение, уединив члены, содержащие неизвестную
в его левой части: 15 · 10 x + 10а · 10 x = а + 20 ⇔ (15 +10а ) · 10 x = а + 20 .
Введя новую неизвестную t = 10 x , которая положительна по свойству по-
казательной функции, получим линейное относительно t > 0 уравнение
(15 +10а )· t = a + 20 с параметром a . Поэтому задача сводится (переформу-
лируем её) к нахождению тех значений параметра a, при которых линейное
уравнение либо вообще не имеет корней, либо имеет неположительные
корни (t ≤ 0).

Страницы