Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 17 стр.

                                      17


Алгебраическое моделирование задачной ситуации:
1) Введение неизвестной величины. Пусть АМ = x, где из условия
следует, что 0 < x < 8. Тогда АС = 2x. 2) Так как S∆АВC = 20 3 , то по ут-
верждению 1 S∆АВM = 10 3 . 3) Составление алгебраического (иррацио-
нального) уравнения. По утверждению 2 для ∆ АВМ имеем уравнение:
                                           2
                   1 2 2 �     82 +52 −x2 �
            10 3 =    8 ⋅5 −�             � , где 0 < x < 8.
                   2          �     2     �
                                  �            �
4) Решение иррационального уравнения методом равносильных преобра-
зований (при 0 < x < 8):

                                                    (     )
                          2                         2
                �89 −x 2 �                   89 −x2
20 3 = 1600 −�           �  ⇔ 400·3 = 1600 –          ⇔
                � 2      �                       4
                 �       �

                     (        )       (        )
                              2                2
⇔ 3·1600 = 4·1600 - 89 −x 2       ⇔   89 −x2       = 1600 ⇔   89 −x2 = 40

(так как 0 < x < 8, то 0 < x 2 < 64 < 89 и 89 – x 2 >0) ⇔ 89 - x 2 = 40 ⇔
                      x>0
x 2 = 49 ⇔ x = 7 ⇔ x = 7 . Поэтому АС = 2x = 14 . Ответ: 14 .
         2 способ решения поэтапно-вычислительным методом
1) Введение двух неизвестных величин. Пусть АМ = МС = x , ∠ АВМ = α ,
где 0 < α < π . Тогда искомая величина АС = 2x , где 0 < x < 8 .
2) Так как S ∆АВМ = 20 3 , то по утверждению 1 S ∆АВМ = 10 3 .
3) Составление тригонометрического уравнения . По формуле Снеллиуса
       АВ⋅ВМ⋅sinα 8⋅5 ⋅sinα
S' =             =          =20⋅sinα , где 0 < α < π . Поэтому для
           2          2
нахождения α имеем уравнение (0 < α < π) :
                                              3      �α =π / 3,
                  20 sinα = 10 3 ⇔ sinα =        ⇔ �
                                             2       �α =2π / 3.
4) Составление алгебраического уравнения на основе применения теоремы
косинусов к вычислению стороны АМ треугольника АВМ:
                    АМ 2 = АВ 2 + ВМ 2 – 2АВ·ВМ·cosα ⇔
        x 2 = 8 2 + 5 2 – 2·8·5·cosα ⇔ x 2 = 89 – 80 cosα , где 0 < x < 8.
                                       π     1
1 случай: α = π/3 . Тогда cosα = cos =           и x 2 = 89 – 40 , откуда
                                       3     2
 x = 7 . Так как x > 0 , то x = 7 и АС = 2x = 14 .
                                                   1
2 случай: α = 2π/3 . Тогда cos α = cos (2π/3) = – и x 2 = 89 + 40, откуда
                                                    2
x 2 =129. Так как 0 < x < 8 , то 0 < x 2 < 64 и поэтому уравнение x 2 =129 не
имеет решений в своей области определения.
Ответ: 14.