Единый государственный экзамен как экспериментальная педагогическая технология. Донцов В.Н. - 16 стр.

                                      16


Задача В10 (демоверсия ЕГЭ-2003). Площадь треугольника ABC равна
20 3 . Найдите AC , если сторона AB равна 8 и она больше половины сто-
роны AC , а медиана ВМ равна 5.




                                 B
                                a
                     c= 8      hb    mb= 5



               A                H M                       C




                               Слайд №3
                    к уроку планиметриив 9 классе.

              1 способ решения алгебраическим методом
В основе решения лежат два элементарных утверждения.
Утверждение 1.Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих
треугольника.
                                    AM ⋅ BH           CM ⋅ BH
Доказательство. Так как S ∆ABM =            , S ∆CMB =        , где AM = MC
                                      2                 2
(по условию), то S ∆АВМ = S ∆СМВ . Ч. тр. д.
Утверждение 2. Площадь треугольника АВС равна
                                                         2
                             1       � а 2 +в2 −с 2 �
                    S∆АВC = а 2в 2 −�                   � .
                             2       �        2         �
Доказательство. По формуле Снеллиуса (Голландия , 1580-1626)
        аb sin C ab            ab              1
S ∆АВС =        =     sin 2 C =   1 −cos2 C = (ab)2 −(ab cos C )2 .
            2     2             2              2
                                              a 2 +b2 −c 2
Из теоремы косинусов следует, что cos C =                   .
                                                   2ab
                                            2
                 1 2 2 � а2 +в 2 −с2 �
Поэтому S∆АВC = а в −�                     �      . Ч. тр. д.
                 2           �     2       �