Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

104
уравнению 022
111
=++ zyx . Одним из решений этого уравнения будет слу-
жить упорядоченная тройка чисел
)0 ,
2
1
,
2
1
( − , которую и примем за ко-
ординаты единичного вектора
`i . Таким образом, имеем )0 ,
2
1
,
2
1
(` −i . Для
определения координат третьего единичного вектора
`j воспользуемся тем, что
этот вектор перпендикулярен векторам
`
k
и `i . Значит, его координаты
) , ,(
222
zyx
удовлетворяют системе уравнений:
⎩
⎨
⎧
=−
=
+
+
.0
022
22
222
yx
zyx
Из этой системы находим, что в качестве единичного вектора
`j «новой»
ПДСК
O`x`y`z` можно принять вектор с координатами )
23
4
,
23
1
,
23
1
(` −j .
На втором этапе составим формулы преобразования координат точки при
переходе от «старой» ПДСК
Oxyz к «новой» O`x`y`z`. Поскольку координаты
начала «новой» системы координат и координаты ее базисных векторов
`i
,
`j
и
`
k
известны, то формулы преобразования «новых» координат в «старые» при-
мут вид
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
++−=
++=
`.
3
1
`
23
4
`
3
2
`
23
1
`
2
1
`
3
2
`
23
1
`
2
1
zyz
zyxy
zyxx
На третьем этапе составим формулы винтового движения относительно
новой ПДСК
Ox`y`z`. Учитывая, что осью нашего винтового движения является
ось
Oz`, угол поворота равен 45°, а вектором параллельного переноса является
вектор
a , который относительно «новой» ПДСК Ox`y`z` имеет координаты
)6 ,0,0(a , получаем, что относительно ПДСК Ox`y`z` формулы винтового дви-
жения имеют вид
.6
~
`
~
~
2
1
~
2
1
`
~
~
2
1
~
2
1
`
~
+
=
+=
−=
z
z
yxy
yxx
                                       104

уравнению 2 x1 + 2 y1 + z1 = 0 . Одним из решений этого уравнения будет слу-
                                    1     1
жить упорядоченная тройка чисел (      ,−    , 0) , которую и примем за ко-
                                     2     2
                                                           1     1
ординаты единичного вектора i`. Таким образом, имеем i`(      ,−    , 0) . Для
                                                            2     2
определения координат третьего единичного вектора j ` воспользуемся тем, что
этот вектор перпендикулярен векторам k ` и i`. Значит, его координаты
( x2 , y2 , z 2 ) удовлетворяют системе уравнений:
                             ⎧2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 0
                             ⎨
                             ⎩ x2 − y2 = 0.
     Из этой системы находим, что в качестве единичного вектора j ` «новой»
                                                             1       1         4
ПДСК O`x`y`z` можно принять вектор с координатами j `(           ,       ,−         ).
                                                            3 2 3 2           3 2
     На втором этапе составим формулы преобразования координат точки при
переходе от «старой» ПДСК Oxyz к «новой» O`x`y`z`. Поскольку координаты
начала «новой» системы координат и координаты ее базисных векторов i`, j ` и
k ` известны, то формулы преобразования «новых» координат в «старые» при-
мут вид
                         ⎧      1         1          2
                         ⎪ x = 2 x` + 3 2 y ` + 3 z `
                         ⎪
                         ⎪        1         1          2
                         ⎨y = −      x` +         y` + z`
                         ⎪         2       3 2         3
                         ⎪        4         1
                         ⎪ z = −      y ` +   z `.
                         ⎩       3 2        3
      На третьем этапе составим формулы винтового движения относительно
новой ПДСК Ox`y`z`. Учитывая, что осью нашего винтового движения является
ось Oz`, угол поворота равен 45°, а вектором параллельного переноса является
вектор a , который относительно «новой» ПДСК Ox`y`z` имеет координаты
a( 0, 0, 6) , получаем, что относительно ПДСК Ox`y`z` формулы винтового дви-
жения имеют вид
                              ~     1 ~       1 ~
                              x `=     x−        y
                                     2         2
                              ~     1 ~       1 ~
                              y`=      x+        y
                                     2         2
                              ~
                              z `= ~
                                   z + 6.

Страницы