Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 103 стр.

                                          103

                               ⎧ x` = x + a
                               ⎪
                               ⎨ y` = y cos α − z sin α
                               ⎪ z ` = y sin α + z cos α,
                               ⎩
где α – угол поворота вокруг оси абсцисс, а число a является первой координа-
той вектора, определяющего параллельный перенос вдоль оси Ox. В нашем слу-
чае число a = 4, угол поворота α = 45°. Следовательно, формулы винтового дви-
жения пространства имеют следующее представление:
                                 ⎧
                                 ⎪ x` = x + 4
                                 ⎪
                                 ⎪          2       2
                                 ⎨ y` = y     −z
                                 ⎪         2       2
                                 ⎪          2       2
                                 ⎪ z` = y     +z      .
                                 ⎩         2       2
     Чтобы найти образ данной точки Р(–3, 2, –1) при винтовом движении на-
до подставить в формулы, определяющие это движение, вместо текущих коор-
динат x, y, z прообраза координаты точки Р. В результате получим, что образом
                              3 2 2
точки Р служит точка P` (1,      ,   ).
                               2   2

     Пример 2. Найти образ точки M(–1, 1, 2) при винтовом движении про-
странства, определяемом прямой, заданной относительно ПДСК Oxyz уравне-
        x y z
ниями    = = , углом поворота +45° и вектором переноса a (4, 4, 2) .
        2 2 1
     Решение. Ход решения данной задачи разобьем на пять этапов.
     На первом этапе мы выделим «новую» ПДСК O`x`y`z`, связанную с осью
поворота следующим образом: за начало O` новой системы координат мы при-
мем какую-нибудь точку оси поворота, поскольку в нашем случае ось поворота
проходит через начало O «старой» системы координат, то естественно поло-
жить O`= O. В качестве единичного вектора k ` примем единичный вектор, со-
направленный с направляющим вектором a (2, 2, 1) оси поворота. Таким обра-
зом, получаем, что относительно данной ПДСК Oxyz вектор k ` имеет следую-
                    2 2 1
щие координаты: k `( , , ) . В качестве единичного вектора i` выберем какой-
                    3 3 3
нибудь единичный вектор, перпендикулярный оси вращения. Для этого вос-
пользуемся тем, что векторы k ` и i` взаимно перпендикулярны. Значит, их ска-
лярное произведение равно нулю. Отсюда получаем, что координаты
( x1 , y1 , z1 ) вектора i` относительно исходной ПДСК Oxyz удовлетворяют