Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 101 стр.

                                        101

ный вектор k был параллелен прямой d, а единичные векторы i и j были бы
перпендикулярны между собой и перпендикулярны прямой d. Тогда относи-
тельно этой специальной ПДСК вектор a будет иметь координаты
a ( 0 , 0 , а ). В пространстве произвольно возьмем точку М. Пусть эта точка
относительно построенной нами ПДСК Oxyz имеет координаты (x, y, z). Под
действием винтового движения точка М перейдет в некоторую точку M`. Пусть
точка M` относительно ПДСК Oxyz имеет координаты (x`, y`, z`). Выразим ко-
ординаты точки М` через координаты точки М. Прежде всего заметим, что при
вращении точки М относительно оси Oz эта точка перейдет в некоторую точку
M1(x1, y1, z1) с координатами x1, y1, z1, связанными с координатами точки М сле-
дующими соотношениями:
                             ⎧ x1 = x cos α − y sin α
                             ⎪
                             ⎨ y1 = x sin α + y cos α
                             ⎪ z = z.
                             ⎩ 1
     Поскольку при параллельном переносе, определяемом вектором a , точка
М1 перейдет в точку М`, то вектор OM` = OM1 + M1M` равен сумме векторов
OM1 и M1M` = a . Следовательно, координаты точек М и M` будут связаны со-
отношениями
                                   ⎧ x`= x cosα − y sin α
                                   ⎪
                                   ⎨ y`= x sin α + y cosα                  (9.1)
                                   ⎪ z `= z + a.
                                   ⎩

     Используя эти формулы, свойства параллельного переноса и свойства по-
ворота пространства вокруг прямой на заданный направленный угол можно по-
лучить основные свойства винтового движения.

     Свойства винтового движения

     1. Винтовое движение сохраняет расстояния между любыми точками.
     2. Винтовое движение сохраняет простое отношение трех точек.
     3. Винтовое движение переводит отрезок в отрезок, луч в луч.
     4. При винтовом движении плоскость переходит в плоскость, параллель-
ные плоскости – в параллельные, полупространство – в полупространство.
     5. Винтовое движение переводит прямую в прямую, параллельные пря-
мые – в параллельные, полуплоскость в полуплоскость.
     6. Винтовое движение переводит линейный угол в равный ему
линейный угол.
     7. При винтовом движении двугранный угол переходит в равный ему дву-
гранный угол.