Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 99 стр.

                                      99

      2. Правильный тетраэдр повернули вокруг высоты на 60°:
      а) постройте изображение его образа в этом повороте;
      б) постройте изображение многогранника, являющегося пересечением и
объединением исходного и полученного тетраэдров;
      в) найдите радиус шара, описанного около правильной шестиугольной
пирамиды, являющейся общей частью данного и полученного тетраэдра, если
длина ребра данного тетраэдра равна 6.
      3. В п р о с т р а н с т в е д а н к у б A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 и к у б
A`B`C`D`A`1B`1C`1D`1, полученный из данного куба поворотом вокруг оси, про-
ходящей через центры оснований, на угол 45°. Изобразите фигуру, являющуюся
пересечением куба ABCDA1B1C1D1 с кубом A`B`C`D`A`1B`1C`1D`1, и фигуру,
являющуюся объединением этих кубов. Найдите объем общей части исходного
и полученного куба, если длина ребра данного куба равна a .
      4. Куб повернули вокруг его диагонали на 60°. Найдите объем общей час-
ти данного и полученного куба, если длина ребра куба равна a .
      5. Докажите, что пересечением правильного тетраэдра и его образа при
повороте вокруг его оси симметрии на 90° служит правильный октаэдр.
      6. Объем правильного тетраэдра равен V. Найти объем общей части тет-
раэдра и его образа при повороте вокруг оси симметрии на 90°.
      7. Составить формулы поворота пространства вокруг прямой
x −1 y − 2 z + 3
      =         =     , переводящего плоскость 2 x + y − 5 z − 7 = 0 в плоскость
  4      −6        9
x + 3 y = 0 . (Система координат – прямоугольная декартова).
       8. Составить формулы поворота пространства вокруг прямолинейной об-
разующей гиперболического параболоида x 2 − y 2 = 2 z , проходящей через точ-
ку (4, –2, 6) на угол 60°. (Система координат – прямоугольная декартова).
       9. Найти образ начала координат при повороте пространства вокруг
прямолинейной            образующей        однополостного        гиперболоида
  2     2     2
 x − y − z = 1, параллельной плоскости x + 2 y − 3z + 4 = 0 , на угол 45°.
(Система координат – прямоугольная декартова).
       10. Найти прообраз точки А(2, 0, –1) при повороте пространства вокруг
прямой, проходящей через точку (–4, –2, 6) параллельно прямой
x−3 y +3 z −2
   =    =     , на угол 30°. (Система координат – прямоугольная декар-
 2    1   −1
това).
     11. Найти образ плоскости 2 x − y + 3 z − 4 = 0 при повороте пространства
вокруг прямой, проходящей через точку (2, –5, 3) параллельно прямой
⎧2 x − y + 3 z − 1 = 0
⎨                      , на угол 60°. (Система координат – прямоугольная декар-
⎩5 x + 4 y − z − 7 = 0
това).
     12. Найти уравнение образа плоскости x + y − z + 3 = 0 при повороте про-
странства вокруг прямой, проходящей через точку пересечения плоскостей