Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

98
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=
+=
+−=
,2
5
3
5
4
~
1
~
1
5
4
5
3
~
zxz
yy
zxx
а «новые» координаты
`)
~
`,
~
`,
~
(
z
y
х
/
точки М` связаны с ее «старыми» `)`,`,(
z
y
х
соотношениями
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=
+=
+−=
,2`
5
3
`
5
4
`
~
1` `
~
1`
5
4
`
5
3
`
~
zxz
yy
zxx
то координаты
`) `, `,( zy
х
образа M` с координатами ) ,,( zy
х
ее прообраза M
при повороте пространства вокруг прямой
d на угол 45° будут связаны соотно-
шениями
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=−+
+−+=+
−−=+−
.2
5
3
5
4
2 `
5
3
`
5
4
)2
5
4
5
3
(
2
2
1 `
)
5
4
5
3
(
2
2
1 `
5
4
`
5
3
zxzx
zyxy
zyxzx
Разрешив эту систему уравнений относительно
` `,`,
z
y
х
, получим фор-
мулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
++
−
=
−+−+=
−
−
−−
+
=
.
5
4
25
928
5
22
25
)22(6
`
12
5
22
2
2
10
23
`
5
3
25
)22(6
10
23
50
3229
`
zyxz
zyxy
zyxx
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
1.
Два куба с ребром a таковы, что один из них получен из другого пово-
ротом на 45° вокруг прямой, проходящей через центры противоположных гра-
ней. Найдите объем их общей части. 
                                            98

                                 ⎧~ 3         4
                                 ⎪  x =   x −   z +1
                                        5     5
                                 ⎪~
                                 ⎨y = y +1
                                 ⎪      4     3
                                 ⎪~ z = x + z − 2,
                                 ⎩      5     5
а «новые» координаты ( ~
                       х `, ~
                            y `, ~
                                 z/ `) точки М` связаны с ее «старыми» ( х`, y`, z `)
соотношениями
                                  ⎧~ 3           4
                                  ⎪ x ` =   x `−   z `+1
                                          5      5
                                  ⎪~
                                  ⎨ y ` = y`+1
                                  ⎪       4      3
                                  ⎪~z ` = x`+ z `−2,
                                  ⎩       5      5
то координаты ( х`, y`, z `) образа M` с координатами ( х, y, z ) ее прообраза M
при повороте пространства вокруг прямой d на угол 45° будут связаны соотно-
шениями
                        ⎧3        4            2 3             4
                        ⎪   x ` −   z ` + 1 =     (   x −  y −   z)
                        ⎪ 5       5           2     5          5
                        ⎪               2 3            4
                        ⎨ y` + 1 =        ( x + y − z + 2)
                        ⎪             2 5              5
                        ⎪4        3           4       3
                        ⎪5  x ` +   z ` − 2 =   x +     z − 2.
                        ⎩         5           5       5
     Разрешив эту систему уравнений относительно х`, y`, z `, получим фор-
мулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:
                    ⎧      9 2 + 32     3 2     6(         2 − 2)    3
                    ⎪ x` =           x−      y−                   z−
                    ⎪         50         10                25        5
                    ⎪      3 2        2    2 2
                    ⎨ y` =      x+      y−     z+          2 −1
                    ⎪       10       2      5
                    ⎪      6(2 − 2 )     2 2    8          2 +9   4
                    ⎪ z` =           x+      y+                 z+ .
                    ⎩          25         5                25     5

      Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

      1. Два куба с ребром a таковы, что один из них получен из другого пово-
ротом на 45° вокруг прямой, проходящей через центры противоположных гра-
ней. Найдите объем их общей части.

Страницы