Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 97 стр.

                                        97

                                 3     4
                                   x1 − x3 = 0,
                                 5     5
                                 4     3
                                   x1 + x3 = 0.
                                 5     5
      Разрешив полученную систему уравнений относительно x1 , x2 , x3 , нахо-
дим, что x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0 . Таким образом, единичный вектор j ` имеет сле-
дующие координаты j `(0, 1, 0) . На втором этапе, зная координаты начала O`
новой системы координат и координаты ее базисных векторов i`, j `, k `, соста-
вим формулы преобразования координат при переходе от ПДСК Oxyz к ПДСК
O`x`y`z`. Имеем:
                               ⎧     3      4
                               ⎪ x = 5 x` + 5 z ` + 1
                               ⎪
                               ⎨ y = y` − 1
                               ⎪       4      3
                               ⎪ z = − x` + z ` + 2
                               ⎩       5      5
или, разрешив эту систему относительно x`, y`, z`, получаем, что
                                ⎧       3     4
                                ⎪ x ` =   x −   z +1
                                        5     5
                                ⎪
                                ⎨ y` = y + 1
                                ⎪       4     3
                                ⎪ z ` = x + z − 2.
                                ⎩       5     5
      На третьем этапе решения задачи составим формулы поворота простран-
ства относительно заданной ПДСК Oxyz. Для этого в пространстве возьмем
произвольную точку М. Обозначим через M` ее образ при повороте вокруг пря-
мой d на угол 45°. Пусть относительно ПДСК O`x`y`z` точка М имеет координа-
ты ( ~
     x, ~  z ) , а точка M` имеет координаты ( ~
        y, ~                                   x `, ~
                                                    y `, ~
                                                         z `) , тогда относительно
ПДСК O`x`y`z` формулы поворота пространства вокруг оси O`z` имеют сле-
дующий вид:

                                ~      2~     2~
                                x `=    x−       y
                                      2      2
                                t      2~     2~
                                y` =    x+       y
                                      2      2
                                ~
                                z `= ~
                                     z.
     Поскольку «новые» координаты ( ~    x, ~
                                            y, ~
                                               z ) точки М связаны с ее «стары-
ми» координатами ( х, y, z ) следующими соотношениями: