Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

96
Пример 2. Составить формулы поворота пространства вокруг прямой d,
заданной в прямоугольной декартовой системе координат
Oxyz уравнениями
3
2
0
1
4
1 −
=
+
=
− zyx
на угол 45°.
Решение. Процесс решения задачи разобьем на три этапа. На первом эта-
пе построим ПДСК
O`x`y`z`, связанную с осью поворота. Для этого из уравне-
ний прямой
d найдем координаты ее направляющего вектора )3 ,0 ,4(a и точки
М
0
(1, –1, 2), ей принадлежащей. В пространстве зададим еще одну прямоуголь-
ную декартову систему координат
O`x`y`z`, ось O`z` которой совпадает с данной
прямой, а начало O` – c точкой М
0
. За единичный вектор `
k
примем вектор
a
a
,
где
a – длина вектора a . Используя формулу
2
3
2
2
2
1
aaaa ++= и координа-
ты вектора
)3 ,0 ,4(a , получаем, что относительно прямоугольной декартовой
системы координат
Oxyz вектор
a
a
k =`
имеет следующие координаты:
)
5
3
,0 ,
5
4
(` =k . В качестве единичных векторов `i и `j примем взаимно перпен-
дикулярные орты, параллельные плоскости, проходящей через точку M
0
и пер-
пендикулярной вектору
)3 ,0 ,4(a . Для определения координат единичных вза-
имно перпендикулярных векторов
`i и `j найдем уравнение этой плоскости.
Имеем
0)2(3)1(4 =
−
+−
z
x
. Раскрыв скобки, и приведя подобные слагаемые,
получаем уравнение плоскости в виде
01034
=
−
+
z
x
. Используя условие па-
раллельности вектора плоскости, найдем какой-нибудь вектор, например
)4 ,0 ,3( −b , параллельный этой плоскости. По вышеуказанной формуле найдем
длину вектора
b . Зная координаты вектора b и его длину, найдем координаты
единичного вектора
)
5
4
,0 ,
5
3
(` −i
относительно прямоугольной декартовой сис-
темы координат
Oxyz. Для определения координат
) , ,(
321
xxx
единичного век-
тора
`j воспользуемся тем, что, во-первых, этот вектор перпендикулярен век-
тору
`i , а во-вторых – перпендикулярен вектору `
k
. Из перпендикулярности
векторов
`i и `j , `
k
и `j получаем, что равны нулю скалярные произведения
0`` ,0`` =⋅=⋅ jkji . Запишем эти равенства в координатной форме: 
                                         96

     Пример 2. Составить формулы поворота пространства вокруг прямой d,
заданной в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнениями
x −1 y +1 z − 2
    =    =      на угол 45°.
  4    0    3
     Решение. Процесс решения задачи разобьем на три этапа. На первом эта-
пе построим ПДСК O`x`y`z`, связанную с осью поворота. Для этого из уравне-
ний прямой d найдем координаты ее направляющего вектора a( 4, 0, 3) и точки
М0(1, –1, 2), ей принадлежащей. В пространстве зададим еще одну прямоуголь-
ную декартову систему координат O`x`y`z`, ось O`z` которой совпадает с данной
                                                                            a
прямой, а начало O` – c точкой М0. За единичный вектор k ` примем вектор        ,
                                                                            a
где a – длина вектора a . Используя формулу a = a12 + a22 + a32 и координа-

ты вектора a(4, 0, 3) , получаем, что относительно прямоугольной декартовой
                                              a
системы координат Oxyz вектор k ` =               имеет следующие координаты:
                                              a
       4    3
k ` = ( , 0, ) . В качестве единичных векторов i` и j ` примем взаимно перпен-
       5    5
дикулярные орты, параллельные плоскости, проходящей через точку M0 и пер-
пендикулярной вектору a( 4, 0, 3) . Для определения координат единичных вза-
имно перпендикулярных векторов i` и j ` найдем уравнение этой плоскости.
Имеем 4( x − 1) + 3( z − 2) = 0 . Раскрыв скобки, и приведя подобные слагаемые,
получаем уравнение плоскости в виде 4 x + 3 z − 10 = 0 . Используя условие па-
раллельности вектора плоскости, найдем какой-нибудь вектор, например
b(3, 0, − 4) , параллельный этой плоскости. По вышеуказанной формуле найдем
длину вектора b . Зная координаты вектора b и его длину, найдем координаты
                        3      4
единичного вектора i`( , 0, − ) относительно прямоугольной декартовой сис-
                        5      5
темы координат Oxyz. Для определения координат ( x1 , x2 , x3 ) единичного век-
тора j ` воспользуемся тем, что, во-первых, этот вектор перпендикулярен век-
тору i`, а во-вторых – перпендикулярен вектору k ` . Из перпендикулярности
векторов i` и j `, k ` и j ` получаем, что равны нулю скалярные произведения
i`⋅ j ` = 0, k `⋅ j ` = 0 . Запишем эти равенства в координатной форме:

Страницы