Геометрические преобразования в примерах и задачах. Дорофеев С.Н. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

94
1) Чтобы найти уравнение прообраза данной плоскости при повороте про-
странства вокруг оси
Oz на 45°, необходимо в уравнении этой плоскости заме-
нить
x, y, z по формулам (8.2). Получим, что относительно заданной ПДСК Oxyz
прообраз нашей плоскости определяется уравнением
02)
2
2
2
2
(2
2
2
2
2
=+−++− zyxyx .
Умножим обе части уравнения на 2 и приведем подобные слагаемые, по-
лучим уравнение
042223 =+−+ zyx прообраза данной плоскости.
Для того, чтобы найти уравнение образа данной плоскости, необходимо
из системы соотношений (8.2) выразить координаты
x, y, z прообраза произ-
вольной точки через координаты
x`, y`, z` самой точки. После преобразований
получаем
`.
`,
2
2
`
2
2
`,
2
2
`
2
2
z
z
yxy
yxx
=
+−=
+=
(8.3)
Для нахождения уравнения образа данной плоскости необходимо в ее
уравнении заменить
x, y, z по формулам (8.3). Получим уравнение вида
02 ``)
2
2
`
2
2
(2 `
2
2
`
2
2
=+−+−++ zyxyx
или после умножения обеих частей уравнения на 2 и приведения подобных сла-
гаемых получим, что относительно ПДСК
Oxyz образ данной плоскости опре-
деляется уравнением
04 `2 `23 `2 =+−+− zyx .
2) При повороте пространства вокруг оси
Oz на угол 45° правильная че-
тырехугольная пирамида SABCD перейдет в правильную четырехугольную пи-
рамиду SA`B`C`D`. Общей частью этих двух пирамид будет служить правиль-
ная восьмиугольная пирамида SMNPQRTKL (рис. 8.2). 
                                        94

      1) Чтобы найти уравнение прообраза данной плоскости при повороте про-
странства вокруг оси Oz на 45°, необходимо в уравнении этой плоскости заме-
нить x, y, z по формулам (8.2). Получим, что относительно заданной ПДСК Oxyz
прообраз нашей плоскости определяется уравнением
                    2     2         2     2
                      x−    y + 2(    x+    y) − z + 2 = 0 .
                   2     2         2     2
     Умножим обе части уравнения на 2 и приведем подобные слагаемые, по-
лучим уравнение 3 2 x + 2 y − 2 z + 4 = 0 прообраза данной плоскости.
      Для того, чтобы найти уравнение образа данной плоскости, необходимо
из системы соотношений (8.2) выразить координаты x, y, z прообраза произ-
вольной точки через координаты x`, y`, z` самой точки. После преобразований
получаем
                                  2         2
                           x=        x` +     y`,
                                 2         2
                                     2        2
                           y=−         x` +     y`,                     (8.3)
                                    2        2
                           z = z `.
     Для нахождения уравнения образа данной плоскости необходимо в ее
уравнении заменить x, y, z по формулам (8.3). Получим уравнение вида
                  2       2           2       2
                    x` +    y` + 2(−    x` +    y`) − z ` + 2 = 0
                 2       2           2       2
или после умножения обеих частей уравнения на 2 и приведения подобных сла-
гаемых получим, что относительно ПДСК Oxyz образ данной плоскости опре-
деляется уравнением
                         − 2 x` + 3 2 y ` − 2 z ` + 4 = 0 .
      2) При повороте пространства вокруг оси Oz на угол 45° правильная че-
тырехугольная пирамида SABCD перейдет в правильную четырехугольную пи-
рамиду SA`B`C`D`. Общей частью этих двух пирамид будет служить правиль-
ная восьмиугольная пирамида SMNPQRTKL (рис. 8.2).

Страницы