Физика атмосферных аэрозольных систем. Довгалюк Ю.А - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение (6.25)
*
справедливо при R
≥
22,4R, интеграл столкновений, стоящий в правой
части уравнения, более прост для вычисления на ЭВМ, чем I
2
.
Выпишем конечно-разностную аппроксимацию полученного уравнения, используя явную
схему счета, и рассмотрим вопрос о выборе шагов интегрирования. Для примера выберем
следующую модель кучевого облака: оно однородно по горизонтали, мощность его равна 2 км,
высота нижней границы 1000 м, температура на нижней границе облака 6
0
C, водность
адиабатическая, скорость восходящего потока изменяется по закону
где w
max
— максимальное значение скорости за время t; T — полный период изменения вертикальной
скорости; w
0
— начальное значение скорости.
Выберем для R следующую неравномерную по радиусам сетку: R
n
=2
⋅
10
-3
+(1+n)(n/2)
⋅
10
-4
(R
≥
20 мкм), R
n
=n∆R, ∆R=1 мкм, 0<R<20 мкм; z
m
=h
2
m. Здесь h
2
=4
⋅
10
4
см — шаг по переменной z,
h
1
n
=R
n+1
-R
n
=(n+1)
⋅
10
-4
— переменный шаг по радиусам. Точки сетки по радиусам выбраны так,
чтобы при R∈[2
⋅
10
-3
,5
⋅
10
-2
] иметь достаточно частую сетку для малых радиусов, где функция
распределения капель по размерам меняется довольно быстро по сравнению с ее изменением для
капель с большими радиусами. Далее положим t
k
=τk, где τ— шаг по времени. В уравнении (6.25)
введем следующие обозначения:
Производные аппроксимируем правосторонними конечными разностями, в результате получим
следующее разностное уравнение:
(6.26)
Данная разностная схема устойчива, если для всех n,m,k выполняются неравенства:
(6.27)
Покажем, при каких величинах τ выполняются эти неравенства. Для этого оценим сверху функции
τg1
n,m
k
и τg2
n,m
k
. Оценка показала, что при w
m
ax
=5 м/с, R
m
in
=2 мкм, h
1
n
=10
-4
см, τg1
n,m
k
≤
12,5τ,
τg2
n,m
k
<10
-2
τ. Отсюда τ
≤
τ
cr
=0,8 с, τg2
n,m
k
<1.
Таким образом, для выбранной нами модели из (6.23) — (6.25) следует, что при t∈ [0,5] и t∈
[15,20] мин. w
≤
4 м/с, и для счета на машине можно взять шаг по времени, равный 1 с, а при t∈ [5,15]
мин. — 0,8 с.
Из приведенных соотношений следует, что величины τ, удовлетворяющие неравенствам
(6.27), существенно зависят от значений w,R и h
2
. Так, при фиксированных значениях R и h
1
n
с ростом
w величина τ
cr
убывает, составляя при w=0,10м/с 40 с, а при w=10 м/с — 0,4 с. Так как в реальных
условиях скорость восходящего потока меняется со временем, то в расчетах целесообразно
использовать неравномерную сетку по времени.
Выбор метода для решения данного уравнения на ЭВМ, исследование его устойчивости и
подборка шагов интегрирования — весьма важные и сложные задачи далеки от завершения, как и
вопрос об относительной точности расчетов. Поэтому следует еще раз подчеркнуть, что уравнение
коагуляции достаточно сложно и получение общих оценок точности его решения весьма затруднено.
Очевидно, необходимо направить усилия на поиск причин ошибок и оценивать их в процессе
численных экспериментов. При этом метод проб и сравнений позволяет отобрать нужный вариант
(например, дробя шаг интегрирования и сравнивая результаты счета, можно подобрать оптимальные
*
В уравнении (6.25) также для краткости опущены аргументы z,t в функции распределения.

Страницы