Физика атмосферных аэрозольных систем. Довгалюк Ю.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

∫∫∫
ρ−=∂
∂
***
/
SVV
dVdStdVp
fMnu
(2.2)
(f- поле внешних сил, отнесенных к единице массы жидкости).
Если в момент времени t
*
поверхность S
*
остановлена и при t > t
*
поддерживается в покое при
скорости в ней жидкости u, тогда S
*
→ S, V
*
→ V при t
≥
t
*
. Уравнение (2.2) примет вид:
∫∫∫
+⋅ρ−=∂
∂
SVV
dVpdStdVp
fnuuMnu
)]([/
(2.3)
Следовательно, сила, действующая на поверхность S, неподвижную в системе координат, где
скорость жидкости u, равна f
1
:
∫∫
+⋅ρ−⋅=
SV
dVpdS
fn)]u(unMf
[
1
Если на поверхности S нормальная составляющая скорости жидкости равна нулю, т.е. в жидкость
погружено тело с непроницаемой для нее оболочкой, то ρu(u
⋅
n) = 0 и, если внешние силы
отсутствуют, то сила, действующая на неподвижную поверхность
∫∫
=⋅=
SS
dSdS
mnMF
Явный вид тензора напряжений M строго не получен до настоящего времени. Наиболее
простым является предположение, что этот тензор есть линейная функция тензора деформации поля
u. Для несжимаемой жидкости
DIM
η+−=
2p
∂
∂
−
∂
∂
=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
D
2
1
где I - единичный тензор; η =const. Используя теорему Гаусса и уравнение (2.3), с учетом
дифференцируемости u и M можно получить векторное уравнение Коши:
ρ
+=∇+∂∂
/)(/
divMfuuu
t
(2.5)
Подставив выражение (2.4) в уравнение (2.5), получим уравнение классической гидродинамики:
ρ
+=∇+∂∂
/)(/
divMuuu
ft
(2.6)
где ν = η/ρ – кинематическая вязкость. Вместе с (3.1) оно дает систему уравнений Навье - Стокса.
Весьма сложен вопрос о граничных условиях для уравнений Навье - Стокса на
непроницаемых для жидкости участках границ. Экспериментально установлено, что разность между
скоростью жидкости u
1
и скоростью движения границы u
2
равна нулю, т.е. |u
1
- u
2
|
S
= 0. При этом
условии для вектора завихренности поля (ω
ωω
ω = rot u) и вектора напряжений m получаются выражения
0)(
=⋅ω
S
n
][
nnm
⋅ωµ=−=
p
S
Выражение для силы, действующей на тело со стороны жидкости, запишем в виде
∫
⋅ωµ−=
S
S
dSp ])[(
nnF
При ω = 0 сила, действующая на тело со стороны жидкости, определяется сравнительно просто:
∫
=
S
S
dSp
nF
Методы решения дифференциальных уравнений типа уравнений Навье - Стокса разработаны
и исследованы в математической физике. Поэтому сведение уравнений аэромеханики дисперсных
систем к уравнениям с безразмерными коэффициентами позволяет проводить быстрый анализ их
решений в зависимости от значений безразмерных коэффициентов, представляющих комбинации
параметров - характеристик среды и движущихся в ней частиц.

Страницы