Введение в численные методы. Дулов Е.Н. - 5 стр.

    1. Источники погрешности при численном решении задачи

    Можно выделить три источника погрешности, которые возникают при
численном решении задачи:
    а) неустранимая погрешность
    б) погрешность метода
    в) вычислительная погрешность
    Неустранимая погрешность связана с конечной точностью исходных данных,
что отчетливо проявляется в физических задачах. Так, решая баллистическую
задачу, о полете пули вблизи поверхности Земли, мы можем указать физические
константы с точностью,        как правило, на много порядков ниже точности
представления вещественных чисел в компьютере.
    Погрешность метода характеризует конкретный численный метод, который
мы применяем к решению задачи. Так, интерполяцию функции по табличным
значениям можно сделать разными способами, от линейной до полиномиальной, с
высокой степенью интерполяционного полинома. Какова при этом будет
погрешность интерполяции - зависит как от выбранного метода, так и от свойств
интерполируемой    функции.    В   отношении   любого    метода    приближенного
вычисления можно сказать, что он аппроксимирует точное решение задачи, при
этом точность аппроксимации определяется как аппроксимирующим выражением,
так и свойствами аппроксимируемого решения. Приведем простой пример –
приближенное вычисление функций с помощью рядов Тейлора. Так, функция e x
раскладывается в сходящийся степенной ряд в окрестности точки x = 0 , и
разложение будет давать хорошие результаты при вычислении e x вблизи нуля.
Используемое разложение в ряд с ограничением конечным числом слагаемых и
будет представлять собой аппроксимацию исходной функции. Для функции           x

такой   подход   аппроксимации     рядом   Тейлора   неприменим,   поскольку   ее
производные, начиная с первой, обращаются в бесконечность в точке x = 0 . Также
нужно отметить, что погрешность метода зачастую связана с неустранимой
погрешностью. Так, наличие сравнительно небольшой погрешности при задании
функции в узлах интерполяции может привести к тому, что интерполяция с
                                           5