Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной. Дусакаева С.Т - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1 Извлечение корня из комплексного числа
Постановка задачи. Найти все значения корня n–ой степени из
комплексного числа
iy
x
z += .
План решения:
1
Корень n–ой степени из комплексного числа имеет n различных
значений, которые определяются формулой
z
+
+
+
==
n
k
i
n
k
rz
nn
k
π
ϕ
π
ϕ
ω
2
sin
2
cos , (1.1)
где
,zr = zarg=
ϕ
и 1,0 −= nk .
2 Находим модуль и аргумент числа iy
x
z
+
=
по формулам
22
yxzr +== ,
<=−
>=
<<+−
≥<+
>
==
.0,0,
2
,0,0,
2
,0,0,
,0,0,
,0,
arg
yx
yx
yx
x
y
arctg
yx
x
y
arctg
x
x
y
arctg
z
π
π
π
π
ϕ
3 Находим по формуле (1.1) значения корня
k
ω
(
)
1,0 −= nk .
Пример. Найти все значения
3
. i
Решение.
1 Корень 3–й степени из комплексного числа
iz
=
имеет три различных
значения, которые определяются формулой
+
+
+
==
3
2
sin
3
2
cos
3
3
k
i
k
ri
k
π
ϕ
π
ϕ
ω
, где ,ir
=
iarg=
ϕ
и .2,1,0=
k
2 Находим модуль и аргумент комплексного числа
iz =
()
1,0
=
= yx
,110
22
=+== ir
2
arg
π
ϕ
== i .
4
      1 Извлечение корня из комплексного числа

      Постановка задачи. Найти все значения корня n–ой степени из
комплексного числа z = x + iy .

     План решения:
      1 Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет n различных
значений, которые определяются формулой

                                             ϕ + 2πk                 ϕ + 2πk 
                      ω k = n z = n r  cos                 + i sin              ,            (1.1)
                                                   n                    n       

где r = z , ϕ = arg z и k = 0, n − 1 .
       2 Находим модуль и аргумент                           числа       z = x + iy   по   формулам
                     r = z = x2 + y2 ,
                              y
                       arctg    , x > 0,
                               x
                      
                      π + arctg y , x < 0, y ≥ 0,
                                   x
                      
                                     y
          ϕ = arg z = − π + arctg , x < 0, y < 0,
                                     x
                      π
                       2 , x = 0, y > 0,
                      
                      − π , x = 0, y < 0.
                       2
        3 Находим по формуле (1.1) значения корня ω k k = 0, n − 1 .         (        )
                                          3
        Пример. Найти все значения             i.

        Решение.

      1 Корень 3–й степени из комплексного числа z = i имеет три различных
значения, которые определяются формулой
                            ϕ + 2πk         ϕ + 2πk 
       ω k = 3 i = 3 r  cos         + i sin          , где r = i , ϕ = arg i и k = 0, 1, 2.
                               3               3 
      2 Находим модуль и аргумент комплексного числа z = i ( x = 0, y = 1)
                                                    π
           r = i = 0 2 + 12 = 1, ϕ = arg i =            .
                                                    2


4

Страницы