Компьютерное моделирование процессов и аппаратов пищевой, био- и химической технологии в среде FlexPDE. Дворецкий С.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПИЩЕВОЙ, БИО- И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ,
ПРИВОДЯЩИЕ
К УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
При математическом решении практических задач анализа и синтеза возникает необходимость интегриро-
вания нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, численными методами.
Все многообразие уравнений в частных производных, описывающих физические явления, можно объеди-
нить в три больших класса:
• эллиптическое уравнение, представляемое в виде
0
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
yx
; (1)
• параболическое уравнение
0
2
2
=
∂
Φ∂
−
∂
Φ∂
t
x
; (2)
• гиперболическое уравнение
0
2
2
2
2
=
∂
Φ∂
−
∂
Φ∂
xt
. (3)
Уравнения эллиптического типа встречаются при изучении стационарных режимов в электротехнике
(электростатика или магнитостатика), механике (деформация твердых тел, лапласовское течение жидкости или
газа) и теплотехнике (распределение температур). Обычно совместно с этими уравнениями используются гра-
ничные условия типа: Дирихле
(
)()
)(
00
SfS
=
Φ
=
Φ
, Неймана
() ()
=
∂
Φ∂
SfS
n
0
или смешанные
() () ()
=
∂
Φ∂
+Φ SfS
n
S
0
.
К уравнениям параболического типа приводят задачи теплопроводности и диффузии. Эти уравнения опи-
сывают также проникновение наведенных токов в проводящее тело в задачах электротехники. Данные уравне-
ния решаются совместно с граничными условиями типа Дирихле, Неймана или смешанными на границе облас-
ти и начальными условиями по всей области.
Уравнения гиперболического типа характеризуют явления распространения волн, будь то волны вибрации
механического типа или электромагнитных волн.
При изучении процессов и аппаратов пищевой, био- и химической технологии выделяются шесть основ-
ных типов процессов и аппаратов для их реализации, при математическом описании которых используются
уравнения в частных производных одного из вышеупомянутого класса.
1
Гидромеханические процессы (разделение жидких неоднородных систем, разделение газовых неодно-
родных систем, оборудование для неоднородных систем, перемещение жидких систем, перемещение и сжатие
газовых систем), в описании кинетики которых лежат уравнения гидродинамики.
Уравнение движения идеальной жидкости (
уравнение Эйлера) которое в векторной форме имеет вид
pF grad
1v
ρ
−=
τ∂
∂
(4)
или
()
pF grad
1
vv
v
ρ
−=∇+
τ∂
∂
, (5)
где
F
– напряженность поля массовых сил;
ρ
– плотность жидкости или газа; p – давление; v – скорость,
()
zyx
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ vvvv
.
Уравнение движения вязкой жидкости (
уравнение Навье-Стокса) в векторной форме имеющее вид
vdivgrad
3
vvgrad
1v
*
2*
+
ρ
ξ
+∇+
ρ
−=
τ∂
∂ v
pF
, (6)

Страницы