ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗ-
ВОДНЫМИ
При численном решении дифференциальных уравнений в частных производных используются, в основ-
ном, методы конечных разностей [6] и конечных элементов [5].
Конечно-разностные методы хорошо изучены и их применение не вызывает особых затруднений [7]. В на-
стоящем пособии изучается метод конечных элементов.
В этом методе исходная дифференциальная задача заменяется дискретной конечномерной моделью. По
существу, метод конечных элементов сочетает разностный метод с кусочно-полиномиальным интерполирова-
нием сеточных функций. Приближенное решение в методе конечных элементов ищется в виде разложения по
базису из кусочно-линейных (в более общем случае – кусочно-полиномиальных) функций, каждая из которых
отлична от нуля лишь в некоторой достаточно малой области. Для определения коэффициентов разложения
получаются системы линейных алгебраических уравнений с большими разреженными матрицами специального
вида. Эти системы уравнений представляют собой разностные схемы, аппроксимирующие исходную
задачу.
В общих чертах метод конечных элементов состоит в следующем.
Исходная задача рассматривается как операторное уравнение вида
()
f
x
u
xk
x
Lu =
∂
∂
∂
∂
=
(10)
в некоторой области
Ω
. Внутри рассматриваемой области выделяют конечные элементы, представляющие со-
бой некоторые подобласти
i
Ω , геометрические размеры которых очень малы по сравнению с размерами облас-
ти
Ω
, но, тем не менее, остаются конечными. В простейшем случае конечные элементы имеют треугольную
(2D) или тетраэдральную (3D) топологию для плоских и трехмерных задач. Исходная область разбивается на
конечные элементы без перекрытия и пересечения (рис. 1), при этом каждый элемент характеризуется числом
геометрических узлов и степенью аппроксимации функции в области
Ω
. Аппроксимация может быть прямо-
линейной или криволинейной, а порядок аппроксимации лежит в пределах от 1 до 6.
Рис. 1 Примеры разбиения расчетных областей
в двумерных (2D) и трехмерных (3D) задачах
Приближенное решение задачи (10)
N
u ищется в виде разложения по базису конечномерного подпро-
странства
Ω⊂Ω
N
размерности N т.е. неизвестная функция после решения задачи будет характеризоваться ее
значением в каждом узле разбиения
∑
=
ϕ=
N
i
iiN
yu
1
, (11)
где
{}
N
i
i
1=
ϕ – базис в
N
Ω ,
i
y – искомые коэффициенты разложения.
Выбор базиса вида
0)( ≠
ϕ
x
i
для конечного элемента приводит к системам уравнений
()
T
N
yyyy
bAy
....,,
;
21
=
=
(12)
а) б)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
