ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
для коэффициентов разложения (11) с разреженной матрицей
A
, что упрощает нахождение коэффициентов
i
y .
В этом случае система уравнений (12) трактуется как разностная схема для задачи (10).
Обобщенная схема расчета по методу конечных элементов представлена на рис. 2.
Рис. 2 Схема организации расчета по методу конечных элементов
Для решения полученных сеточных уравнений используются различные методы: Якоби, Зейделя, верхней
релаксации, явный итерационный, попеременно-треугольный итерационный, итерационный переменных на-
правлений, Ньютона-Рафсона, матричной прогонки и др.
В пакете FlexPDE реализован метод Ньютона-Рафсона [5].
Основой метода Ньютона-Рафсона является построение ряда значений
(
)
(
)()
N
xxx ...,,,
10
, исходя из на-
чальной величины
(
)
0
x с использованием процесса итераций, учитывающего значения
()
x
i
ϕ
, а также значения
ее производной.
Пусть
(
)
0
x – начальная величина ряда; назовем
(
)
0
x∆ приращением величины
0
x так, чтобы
(
)
(
)
(
)
001
xxx ∆+= удовлетворяло уравнению
()
0
=
ϕ
x
i
с точностью до второго порядка:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0000
=∆ϕ
′
+ϕ≅∆+ϕ xxxxx . (13)
Отсюда следует, что если
()
0
0
≠
ϕ
′
x , то
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
000
/ xxx ϕ
′
ϕ−=∆ , (14)
откуда значение
1
x равно
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0001
/ xxxx ϕ
′
ϕ−= . (15)
Вновь повторяя ту же операцию, начиная с
1
x , можно построить ряд итераций по следующему алгоритму:
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
kkkk
xxxx ϕ
′
ϕ−=
+
/
1
. (16)
Итерации прекращаются, когда разность между двумя последовательными итерациями удовлетворяет за-
данной точности
ε :
(
)
(
)
()
ε<
−
+
+
1
1
k
kk
x
xx
. (17)
В дальнейшем будет показано использование метода Ньютона-Рафсона для решения типичных классов за-
дач.
3 ОСНОВЫ РАБОТЫ С ПАКЕТОМ FlexPDE
Определение области
решения
Разбиение на конечные
элементы
Вычисление коэффициентов
алгебраической системы
Решение уравнений
Вывод результатов
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
