ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Необходимо отметить, что многие задачи решаются в условиях неопределенности, отсутствия достаточного объема ис-
ходных данных. Для такого рода задач наблюдается некоторое объединение модели и алгоритма решения, т.е. алгоритм, проце-
дура решения задачи в значительной степени берет на себя функции модели, модель и алгоритм рассматриваются как единое
целое. Это наблюдается, например, при использовании Байесовского подхода или нечеткого логического вывода.
Понятие математической модели
(ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании
,
не имеет строгого формального определения. Тем не менее, в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с
которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике.
Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании тех-
ники и технологий – это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и
явлений. Соответствующая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она по-
зволяет провести детальное исследование изучаемой системы и дать надежный прогноз ее поведения в различных усло-
виях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее ис-
пользовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно рас-
ширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ.
Определение
. Совокупность понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и
обозначений, которые отражают наиболее существенные (характерные) свойства изучаемой системы, называют
матема-
тической моделью
этой системы.
В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универсальность
французский математик Анри Пуанкаре определил всего одной фразой «Математика – это искусство называть разные
вещи одним и тем же именем».
Применение математических методов при изучении реально существующей или мыслимой системы будет эффектив-
ным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств.
Полнота
ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности системы, которые инте-
ресуют нас с точки зрения поставленной цели проведения моделирования. Например, модель может достаточно полно опи-
сывать протекающие в системе процессы, но не отражать ее габаритные, массовые или стоимостные показатели.
Точность
ММ
дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений
выходных переменных системы, составляющих вектор
.),...,,(
т
21
n
n
Ryyyy ∈=
Пусть
−
PМ
ii
y
и
y
найденное при помощи ММ
и реальное значение
i
-й выходной переменной. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этой переменной
при одних и тех же значениях входных переменных будет равна
.,1,/
PPM
niyyy
iiii
=−=ε
В
качестве
скалярной
оценки
вектора
погрешности
модели
n
n
R∈εεε=ε
т
21
),...,,(
можно
принять
какую
-
либо
его
нор
-
му
,
например
.maxили
,1
2
i
ni
n
i
i
ε=εε=ε
=
∑
Адекватность
ММ
–
это
способность
ММ
отображать
выходные
переменные
системы
с
погрешностью
не
более
некото
-
рого
заранее
заданного
значения
δ
.
В
общем
смысле
под
адекватностью
ММ
понимают
правильное
качественное
и
достаточно
точное
количественное
опи
-
сание
именно
тех
характеристик
системы
,
которые
наиболее
важны
в
данном
конкретном
случае
.
В
ряде
прикладных
облас
-
тей
,
еще
недостаточно
подготовленных
к
применению
количественных
математических
методов
,
ММ
имеют
,
главным
обра
-
зом
,
качественный
характер
.
Эта
ситуация
типична
,
например
,
для
биологической
и
социальной
сфер
,
в
которых
количест
-
венные
закономерности
не
всегда
поддаются
строгой
математической
формализации
.
В
таких
случаях
под
адекватностью
ММ
естественно
понимать
лишь
правильное
качественное
описание
поведения
изучаемых
объектов
.
Экономичность
ММ
оценивают
затратами
на
вычислительные
ресурсы
(
машинное
время
и
память
),
необходимые
для
проведения
вычислительного
эксперимента
с
ММ
на
ЭВМ
.
Эти
затраты
зависят
от
числа
арифметических
операций
при
ис
-
пользовании
модели
,
от
размерности
и
пространства
фазовых переменных,
характеризующих
состояние
ТС
и
других
факто
-
ров
.
Очевидно
,
что
требования
экономичности
,
высокой
точности
и
адекватности
ММ
противоречивы
и
на
практике
могут
быть
удовлетворены
лишь
на
основе
разумного
компромисса
.
Робастность
ММ
характеризует
ее
устойчивость
по
отношению
к
погрешностям
исходных
данных
,
способность
ниве
-
лировать
эти
погрешности
и
не
допускать
их
чрезмерного
влияния
на
результат
вычислительного
эксперимента
.
Продуктивность
ММ
связана
с
возможностью
располагать
достаточно
достоверными
исходными
данными
.
Если
они
являются
результатом
измерений
,
то
точность
их
измерения
должна
быть
не
ниже
,
чем
для
тех
переменных
,
которые
полу
-
чаются
при
использовании
ММ
.
В
противном
случае
ММ
будет
непродуктивной
и
ее
применение
для
анализа
конкретной
ТС
теряет
смысл
.
В
зависимости
от
масштаба
ТС
и
наших
предположений
о
ее
свойствах
ММ
принимают
конкретный
вид
.
Можно
гово
-
рить
о
ММ
технологической
машины
или
аппарата
,
технологического
процесса
,
производства
,
предприятия
и
даже
целой
отрасли
.
Эти
ММ
отличаются
одна
от
другой
полнотой
учета
и
глубиной
описания
различных
процессов
в
системе
.
Если
,
например
,
ММ
аппарата
содержит
чаще
всего
не
более
10 – 15
уравнений
,
то
в
модель
производства
,
предприятия
и
тем
бо
-
лее
отрасли
может
входить
несколько
десятков
или
сотен
уравнений
.
Достаточно
общей
формой
представления
модели
исследуемой
системы
является
модель
динамической
системы
(
ДС
),
которую
будем
обозначать
символом
Σ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
