Моделирование технических систем - 20 стр.

                       ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
              Разработка системы решения ОДУ с параметрами

Цель работы:
приобретение навыков построения системы исследования моделей процессов на основе
обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами
.
                                      СПРАВКА
  1. При проектировании процессов, реализуемых в технических системах, всегда решаются
     задачи, связанные с оптимизацией параметров и характеристик процесса. Типовыми в
     этом случае являются задачи параметрической оптимизации, задачи оптимального
     управления и задачи оптимального управления с параметрами. Особенностью первого
     типа задач является подчиненность параметров процесса определенным закономерно-
     стям изменения, описываемых, как правило, дифференциальными уравнениями. В
     большинстве случаев достаточной является модель процесса на основе обыкновенных
     дифференциальных уравнений.

  2. Дифференциальными называются такие уравнения (ДУ), в которых неизвестными
     являются функции одного или нескольких переменных, и наряду с ними в уравнения вхо-
     дят не только сами функции, но и их производные.
     Различают обыкновенные ДУ и ДУ в частных производных.
     Обыкновенные ДУ - производные в уравнении берутся только по одному переменно-
     му.
     Уравнения в частных производных - в уравнении имеются производные по несколь-
     ким переменным.
     Большая часть законов физики формулируется в виде ДУ. Любые задачи моделирова-
     ния и проектирования, связанные с изучением потоков энергии, движения тел сводятся
     к построению и исследованию систем ДУ. Обыкновенное ДУ можно представить в
     общем виде
                                         F(t, y, y’) = 0,
     или в разрешенном относительно производной виде
                                          y’ = f(t, y),
     где t - независимая переменная (во многих задачах это время течения процесса, в об-
     щем случае - х), у - неизвестная функция независимого переменного, у’ = dy/dt - про-
     изводная функции y, F - заданная функция трех переменных, f - заданная функция
     двух независимых переменных.
     Для решения ДУ необходимо знать значение зависимой переменной и/или ее функции
     для некоторого значения независимой переменной. Если эти дополнительные условия
     задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется
     начальной задачей, задачей с начальными условиями, задачей Коши. Если же условия
     задаются при двух или более значениях независимой переменной, то такая задача на-
     зывается краевой. В задаче Коши дополнительные условия называются начальными, в
     краевой задаче - граничными.
     Решение ДУ в современной практике осуществляется многочисленными численными
     методами. Продуктивность использования того или иного метода определяется сово-
     купностью различных факторов, однако, в любом случае их применение целесообраз-
     но лишь том случае, когда решение ДУ существует и оно единственно.
     В практических приложениях используют одношаговые и многошаговые методы ре-
     шения подобных задач.
     Одношаговые численные методы для нахождения следующей точки решения исполь-
     зуют информацию лишь об одном предыдущем шаге. Они предназначены для решения
     ДУ первого порядка (порядок ДУ определяется порядком искомой производной). К
     одношаговым относят группу методов Рунге-Кутты, в которых аппроксимация реше-
     ния по аргументу х производится следующим образом.