Моделирование технических систем - 21 стр.

Метод первого порядка (метод Эйлера):
dy/dx=Fx,y) у/ x=yi+1-yi)/xi+1-xi),
где yi+1 - решение уравнения в точке xi+1. Полагая h = xi+1 имеем
(yi+1-yi)/(xi+1-xi)=(yi+1-yi)/ h = F(xi,yi)
или
yi+1 yi + h * F(xi,yi).

Используя знание начальных значений (х0, у0), можно определить следующее при-
ближение, продолжая эту цепочку до окончания процесса решения.
 Метод второго порядка:
 yi+1 = yi + h * F(xi+h/2, y’i+1),  Метод четвертого порядка:
 y’i+1 = yi + h/2 * F(xi,yi).       yi+1 yi +1/6(k1+2k2+2k3+k4),
                                    k1 = hF(xi, yi),
 Метод третьего порядка:            k2 = hF(xi+h/2, yi+k1/2),
 yi+1 yi +1/6(k1+4k2+k3),           k3 = hF(xi+h/2, yi+k2/2),
 k1 = hF(xi, yi),                   k4 = hF(xi+h, yi+k3).
 k2 = hF(xi+h/2, yi+k1/2),
 k3 = hF(xi+h, yi+2k2-k1).

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в ко-
тором сохраняются члены, содержащие шаг h аргумента x в степени до k включитель-
но. Целое число k называется порядком метода. Погрешность на шаге расчета имеет
порядок k+1.
Методы второго, третьего и четвертого порядка требуют на каждом шаге изменения
аргумента соответственно двух, трех и четырех вычислений функции.
Характеристика методов Рунге-Кутты
    • Методы используют для своей реализации информацию только о текущей точке
       и не используют информацию о предыдущих точках расчетов. Это свойство
       обеспечивает их применение для начала решения уравнений.
    • По той же причине приходится многократно вычислять функцию f(х,y) и затра-
       чивать на это много машинного времени.
    • Используя информацию только об очередной точке решения, эти методы позво-
       ляют легко менять величину шага вычислений h. Приближенная рекомендация
       основана на правиле Коллатца: если отношение (k2 - k3)/(k1 - k2) становится
       большим нескольких сотых, то шаг интегрирования необходимо уменьшить.
    • Недостатком методов является отсутствие возможности явной оценки ошибки
       ограничения.
    • Результаты решения во многом зависят от величины шага интегрирования h.
       Его выбор осуществляют сравнением результатов, полученных: при вычисле-
       нии функции для последующей точки с шагом h и двумя шагами h/2. Если при
       этом разница в результатах превышает заданную точность вычисления (задан-
       ную, например, в процентах), то шаг уменьшают в два раза (как правила).
Наиболее распространенным в инженерных расчетах является метод Рунге-Кутты чет-
вертого порядка.
В ходе решения задачи появляется дополнительная информация о рассчитанных точ-
ках траектории движения системы, которая не используется в одношаговых методах.
Применение же многошаговых методов основано на использовании информации о
предыдущих вычислениях. Для этого используют две формулы: прогноза и коррекции.
Поэтому такие методы известны под названием методов прогноза и коррекции.
В отличие от одношаговых методы прогноза и коррекции не обладают свойством «са-
мостартования». Поэтому при их использовании начальные точки расчета определя-
ются одношаговыми методами.
Обычно при выводе формул прогноза и коррекции решение уравнения рассматривают
как процесс приближенного интегрирования, а сами формулы получают с помощью