Физика. Часть 3. Колебания и волны. Волновая оптика. Дымченко Н.П - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

27
затухающих колебаний
2
T
π
ω
= стремится к бесконечности, а частота ω к нулю.
Таким образом, при условии
22
0
ωβ
≤
колебательного процесса не будет.
График зависимости смещения )(
t
маятника относительно положения
равновесия от времени
t
приведен на рис. 1.12. Убывающая амплитуда показа-
на на рисунке штриховыми линиями.
Период затухающих колебаний T определим как промежуток времени ме-
жду двумя последующими максимумами или минимумами функции
()
xt
:
22
0
22
T
ππ
ω
ωβ
==
−
.
Характеристики затухающих колебаний
Коэффициент затухания
β
для механических колебательных систем
связан с коэффициентом сопротивления r и массой тела m:
2
r
m
β = . (1.51)
Для оценки величины затухания используется промежуток времени
τ
, в
течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Из формулы (1.49) следует,
что при времени
t
τ
=
, отношение
1
0
A
ee
A
βτ
−−
==
, откуда
1
βτ
=
и
1
β
τ
=
. Сле-
довательно, коэффициент затухания
β
есть обратная величина промежутку
времени
τ
, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Обозначим через
n
A
и
1
n
A
+
значения амплитуд в двух последовательных
максимумах в моменты времени
n
t
и
1
n
t
+
, причем
1nn
ttT
+
=+
.
Согласно (1.49)
1
10
n
t
n
AAe
β
+
−
+
=⋅
0
n
t
n
AAe
β
−
=⋅
,.
Найдем их отношение:
1
1
n
n
t
T
n
t
n
Ae
e
Ae
β
β
β
+
−
−
+
==
. (1.52)
Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - лога-
рифмическим декрементом затухания
λ
:
1
ln
n
n
A
T
A
λβ
+
== . (1.53)
Формула (1.52) показывает, что отношение величины каждого максимума
к последующему одинаково и равно декременту затухания, т.е. максимумы
функции (1.47) образуют убывающую геометрическую прогрессию. Несложно
показать, что логарифмический декремент затухания
λ
есть величина, об-
                          2π
затухающих колебаний T =      стремится к бесконечности, а частота ω к нулю.
                          ω
Таким образом, при условии ωβ≤
                             22
                             0     колебательного процесса не будет.
     График зависимости смещения x(t ) маятника относительно положения
равновесия от времени t приведен на рис. 1.12. Убывающая амплитуда показа-
на на рисунке штриховыми линиями.
     Период затухающих колебаний T определим как промежуток времени ме-
жду двумя последующими максимумами или минимумами функции xt() :
     ππ
    22
T ==              .
    ω     ωβ
           0 −
           22




    Характеристики затухающих колебаний

    Коэффициент затухания β для механических колебательных систем

связан с коэффициентом сопротивления r и массой тела m:
                                       r
                                  β=        .                            (1.51)
                                      2m
     Для оценки величины затухания используется промежуток времени τ , в
течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Из формулы (1.49) следует,
                                   A                                   1
что при времени t = τ , отношение     ==ee−−βτ  1
                                                  , откуда βτ = 1 и β = . Сле-
                                   A0                                  τ
довательно, коэффициент затухания β есть обратная величина промежутку
времени τ , в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
     Обозначим через An и An +1 значения амплитуд в двух последовательных
                                                  nn+1 =+
максимумах в моменты времени tn и tn+1 , причем ttT         .
                                  − β tn +1                  − β tn
                     n +10=⋅
    Согласно (1.49) AAe                        n =⋅
                                              AAe     0               ,.
    Найдем их отношение:
                                          − β tn
                                Aen
                                      == − β tn+1         eβT .            (1.52)
                                Ae
                                 n +1
     Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - лога-
рифмическим декрементом затухания λ :
                                       A
                                λβ==ln n    T.                      (1.53)
                                      An+1
     Формула (1.52) показывает, что отношение величины каждого максимума
к последующему одинаково и равно декременту затухания, т.е. максимумы
функции (1.47) образуют убывающую геометрическую прогрессию. Несложно
показать, что логарифмический декремент затухания λ есть величина, об-

                                              27

Страницы