Физика. Часть 3. Колебания и волны. Волновая оптика. Дымченко Н.П - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

25
Колебательные системы, в которых отсутствуют силы трения, не обладают
потерями энергии. Такие системы называются консервативными. Это есть не-
которая идеализация колебательного процесса.
Опыт показывает, что в реальных колебательных системах всегда дейст-
вуют силы сопротивления. Такие силы совершают отрицательную работу, тем
самым, уменьшая энергию системы. С течением времени амплитуда колебаний
уменьшается, и, в конце концов, колебательный процесс прекращается. Систе-
мы, в которых энергия рассеивается, называются неконсервативными.
При небольших скоростях движения маятника можно считать силу тре-
ния
тр
F
прямо пропорциональной скорости
υ
и направленной против
движения:
тр
Fr
υ
=−
, (1.44)
r – коэффициент сопротивления.
По второму закону Ньютона сумма сил упругости (1.1) и трения (1.44)
должна быть равна в любой момент времени произведению массы тела на его
ускорение:
makxr
=−−
. (1.45)
Учитывая что, скорость представляет собой первую производную коорди-
наты х по времени t (
dt
dx
=υ
), а ускорение вторую производную по времени
(
2
2
dx
a
dt
=
), уравнение (1.45) примет вид:
2
2
0
dxdx
mrkx
dtdt
++=
. (1.46)
Полученное таким образом уравнение свободных колебаний маятника при
наличии трения отличается от уравнения (1.2) добавкой члена
dt
dx
r
.
Коэффициенты r, m и k являются параметрами системы. Разделим выра-
жение (1.46) на m и введем обозначения:
2
0
k
m
ω
=
,
2
r
m
β
=
.
Тогда уравнение (1.46) примет вид:
2
2
0
2
20
dxdx
x
dtdt
βω
++=
. (1.47)
Уравнение (1.47) называется дифференциальным уравнением собственных
затухающих колебаний. Решением дифференциального уравнения (1.47) явля-
ется функция:
(
)
0
()cos
t
xtet
β
ωα
−
=Α+
, (1.48) 
      Колебательные системы, в которых отсутствуют силы трения, не обладают
потерями энергии. Такие системы называются консервативными. Это есть не-
которая идеализация колебательного процесса.
      Опыт показывает, что в реальных колебательных системах всегда дейст-
вуют силы сопротивления. Такие силы совершают отрицательную работу, тем
самым, уменьшая энергию системы. С течением времени амплитуда колебаний
уменьшается, и, в конце концов, колебательный процесс прекращается. Систе-
мы, в которых энергия рассеивается, называются неконсервативными .
       При небольших скоростях движения маятника можно считать силу тре-
ния Fтр прямо пропорциональной скорости υ и направленной против
движения:
                                   Frтр =− υ ,                         (1.44)
r – коэффициент сопротивления.
      По второму закону Ньютона сумма сил упругости (1.1) и трения (1.44)
должна быть равна в любой момент времени произведению массы тела на его
ускорение:
                                    =−−
                                 makxr           υ.                    (1.45)
     Учитывая что, скорость представляет собой первую производную коорди-
                           dx
наты х по времени t ( υ =      ), а ускорение вторую производную по времени
                            dt
     dx2
( a = 2 ), уравнение (1.45) примет вид:
     dt
                                2
                              dxdx
                             mrkx2 ++=                0.               (1.46)
                               dtdt
    Полученное таким образом уравнение свободных колебаний маятника при
                                                                dx
наличии трения отличается от уравнения (1.2) добавкой члена r      .
                                                                dt
    Коэффициенты r, m и k являются параметрами системы. Разделим выра-
                                            k        r
жение (1.46) на m и введем обозначения:       = ω02 , = 2β .
                                            m        m
     Тогда уравнение (1.46) примет вид:
                                  2
                                dxdx
                                    2
                                      ++=
                                       20βω  2
                                             0x
                                                 .                  (1.47)
                                 dtdt
     Уравнение (1.47) называется дифференциальным уравнением собственных
затухающих колебаний. Решением дифференциального уравнения (1.47) явля-
ется функция:
                            xtet =Α+0
                             ()cos        −β t
                                                  (ωα      ),          (1.48)



                                     25

Страницы