Визуализация в научных исследованиях. Ечкина Е.Ю - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»
Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su
23
Рассмотрим набор сжимающих отображений
1
T
с коэффициентом сжатия
1
1
s
2
T
с коэффициентом сжатия
2
1
s
m
T
с коэффициентом сжатия
1
m
s
действующих на X. Эти m отображений используются для построения одного
сжимающего отображения T в пространстве H(X) всех непустых компактов из X.
Преобразование Хатчинсона
T :
H H
определяется следующим образом
1 2
T( ) ( ) ( ) ... ( ),
m
E T E T E T E E H
  .
Это преобразование ставит в соответствие «точкам» из H также «точки» из H, причем
под «точками» здесь понимается компактные множества.
Теперь можно ввести центральное
Определение 5. Системой итерированных функций (IFS) называется совокупность
введенных ранее отображений вместе с итерационной схемой:
0
E
- компактное множество (произвольное)
1 0
1
( )
( ),
n n
E T E
E T E
Основная задача теории IFS - выяснить, когда IFS порождает предельное множество E:
lim
n
n
E E

в смысле сходимости в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то
множество Е называется аттрактором системы итерированных функций. Причем
аттрактор часто ( но не всегда !) оказывается фрактальным множеством. Очевидно,
для того чтобы обеспечить сходимость, требуется наложить определенные
ограничения на введенные выше преобразования, к примеру запретить точкам уходить
на бесконечность.
Мы уже представили основные идеи, необходимые для установления условий
сходимости. Если нам удастся показать, что T является сжимающим отображением на
метрическом пространстве (H(X), h), то мы сможем применить теорию сжимающих
отображений. В этом случае аттрактор Е будет представлять неподвижную точку
отображения Т.
Справедливы
Теорема 2. Преобразование Т является сжимающим отображением на H(X). Его
коэффициент сжатия равен:
1
max{ ,..., }
m
s s s
;
и
Теорема 3. Пусть
1 2
, ,...
m
T T T
- сжимающие отображения на
n
R
. Для произвольного
начального множества
0
E H
, система итерированных функций
1
( ), 1,2...,
n n
E T E n
сходится в метрике Xаусдорфа единственному
множеству
E H
. Множество Е называется аттрактором IFS. Обратно, множество Е
можно представить в виде:
( )
0
lim ( )
n
n
E T E

, где
( )
0 0
( ) ( (... ( )))
n
T E T T T E .
Реализация IFS
Пусть IFS задано аффинными преобразованиями: 
Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»


Рассмотрим набор сжимающих отображений
T1 с коэффициентом сжатия s1  1
T2 с коэффициентом сжатия s2  1
Tm с коэффициентом сжатия sm  1
действующих на X. Эти m отображений используются для построения одного
сжимающего отображения T в пространстве H(X) всех непустых компактов из X.
Преобразование Хатчинсона T : H  H определяется             следующим образом
T( E )  T1 ( E )  T2 ( E )  ...  Tm ( E ), E  H .
Это преобразование ставит в соответствие «точкам» из H также «точки» из H, причем
под «точками» здесь понимается компактные множества.
Теперь можно ввести центральное
Определение 5. Системой итерированных функций (IFS) называется совокупность
введенных ранее отображений вместе с итерационной схемой:
E0 - компактное множество (произвольное)
E1  T ( E0 )

En  T ( En1 ),

Основная задача теории IFS - выяснить, когда IFS порождает предельное множество E:
E  limEn в смысле сходимости в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то
      n 
множество Е называется аттрактором системы итерированных функций. Причем
аттрактор часто ( но не всегда !) оказывается фрактальным множеством. Очевидно,
для того чтобы обеспечить сходимость, требуется наложить определенные
ограничения на введенные выше преобразования, к примеру запретить точкам уходить
на бесконечность.
Мы уже представили основные идеи, необходимые для установления условий
сходимости. Если нам удастся показать, что T является сжимающим отображением на
метрическом пространстве (H(X), h), то мы сможем применить теорию сжимающих
отображений. В этом случае аттрактор Е будет представлять неподвижную точку
отображения Т.
Справедливы
Теорема 2. Преобразование Т является сжимающим отображением на H(X). Его
коэффициент сжатия равен: s  max{s1 ,..., sm } ;
и
                                                            n
Теорема 3. Пусть T1 , T2 ,...Tm - сжимающие отображения на R . Для произвольного
начального         множества        E0  H ,        система       итерированных       функций
En  T ( E n 1 ), n  1, 2..., сходится в метрике Xаусдорфа            единственному
множеству E  H . Множество Е называется аттрактором IFS. Обратно, множество Е
                                     (n)          (n)
можно представить в виде: E  lim T ( E0 ) , где T ( E0 )  T (T (...T ( E0 ))) .
                                     n 


                                Реализация IFS
Пусть IFS задано аффинными преобразованиями:



Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su                 23

Страницы