Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 104 стр.

            Глава 5. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии
                                 5.1. Краткие сведения из теории

        Основные прочностные характеристики материала: σ y , σ u ,τ y ,τ u для расчета на
прочность при простом напряженном состоянии устанавливаются экспериментально. При
растяжении и изгибе стержней и наиболее напряженных точках имеет место линейное
напряженное состояние. При кручении все точки стержня находятся в состоянии чистого
сдвига.
       Сложным называется любое напряжение состоянии, кроме простого. Для вычисления
эквивалентного напряжения σ eq необходимо знать главные напряжения σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . если
известно одно из главных напряжений (рис.5.1,а), то остальные два определяются по
формуле для плоского напряженного состояния
                                                                                   2
                                                          σ x +σ Z      σ −σ Z                         (5.1)
                                            σ   max   =              ±  x       +τ ,
                                                                                    2

                                       2        min
                                                                          2 
а положение двух других главных площадок
                                                  2
                                                       .    tg 2α = −    (5.2)
                                              σ x −σ z
      По гипотезе пластичности Треска-Сен-Венана, Хубера-Мизеса и теории Мора
эквивалентные напряжения соответственно равны
                   σ eq = σ 1 − σ 3

                         σ eq =
                                    1
                                     2
                                       [                                               ]
                                       (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ,                (5.3)
                         σ eq   = σ 1 − kσ 3 ,
где k = σ yt / σ yc или k = σ ut / σ uc .
       В точках поперечного сечения стержня, испытывающего одновременно изгиб,
кручение и растяжение – сжатие, возникает так называемое «упрощенное» плоское
напряженное состояние (рис.5.1,б). Это частный случай плоского напряженного состояния,
часто встречающееся в инженерной расчетной практике. Поэтому σ eq здесь сразу выражают
через напряжения изгиба σ = M x / Wx и кручения τ = T / W p (рис.5.1,б), не определяя главные
напряжения




                                                      А                            Б
                                             Рис.5.1
            Для пластичных материалов с одинаковыми пределами текучести                     σ yt = σ yc при
      растяжении и сжатии эквивалентные напряжения вычисляют, используя теории
начала текучести: по теории максимальных касательных напряжений Треска-Сен-Венана
                                                            σ eq = σ 2 + 4τ 2 ,                          (5.4)
по энергетической теории Хубера – Мизеса
                                                            σ eq = σ 2 + 3τ 2 .                          (5.5)



                                                                104