Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 228 стр.

   Глава 12. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК ПЕРЕМЕННОГО
                              СЕЧЕНИЯ

                                 12.1. Основные зависимости

      При плоском изгибе балок [1] перемещения поперечного сечения определяются двумя
величинами: прогибом V и углом поворота сечения ϑ
                                               dV
                                          ϑ=−     ,                         (12.1)
                                               dz
при этом положительные направления V и ϑ показаны на рис.12.1,а (балка отнесена к
правой декартовой системе координат; ось z направлена вдоль балки; ось y лежит в
плоскости изгиба, ось х перпендикулярна этой плоскости; оси х, у являются главными
центральными осями сечений балки).




                                       Рис. 12.1

       Кривизна изогнутой оси балки χ = dϑ / dz связана с изгибающим моментом M x в
сечении балки зависимостью
                                         dϑ     M
                                             =− x ,                            (12.2)
                                         dz     EI x
где изгибающий момент M x и осевой момент инерции сечения I x зависят от координаты z .
Уравнения равновесия бесконечно малого элемента балки:
                                 dM x           dQ y
                                      = Qy ,         = −q (z ) .                (12.3)
                                  dz             dz
       Положительные направления поперечной силы Q y , изгибающего момента M x и
интенсивности распределенной нагрузки q e (z ) показаны на рис.12.1,б.
       Уравнения (12.1…12.3) составляют систему дифференциальных уравнений
четвертого порядка. При расчете статически определимой балки уравнения (12.3), как
правило, не используются. Аналитические выражения изгибающего момента M x на каждом
из участков балки составляются из условия равновесия части балки, расположенной слева от
сечения z .
       Перемещения определяются решением линейной краевой задачи для системы двух
дифференциальных уравнений (12.1), (12.2):
                                       dϑ          dV
                                            =χ,        = −ϑ .
                                        dz         dz                           (12.4)
       Граничные условия для искомых функций ϑ , V зависят от способа закрепления
балки. Например, для балки (рис. 12.2,а) граничные условия имеют вид
                                      V (l ) = 0 , V (3l) = 0 .
       Рассмотрим метод решения сформулированной краевой задачи.
       Правая часть первого из уравнения (12.4) является известной функцией координаты
z , поэтому это уравнение может быть проинтегрировано:
                                            z
                                        ϑ = ∫ χdz + C1 .                      (12.5)
                                            0




                                          228