Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 229 стр.

     Постоянная C1 представляет собой угол поворота сечения z = 0 балки. Входящий в
выражение (12.5) интеграл
                                            z
                                        ~                                  (12 6)
                                        ϑ = ∫ χdz
                                                    0

    определяется численно для всех заранее намеченных сечений балки (для численного
            интегрирования в программе используется формула трапеций). Тогда
                                            ~
                                        ϑ = ϑ + С1 .
       Полученное выражение для угла поворота сечения подставим во второе(12.7)
                                                                              уравнение
системы (3.8) и проинтегрируем. В результате имеем
                                              ~
                                       V = −V − C1 z + C 2 ,
где C 2 постоянная интегрированная, имеющая смысл прогиба в сечении балки z = 0 ;
                                               z
                                          ~     ~
                                          V = ∫ ϑ dz .                               (12.8)
                                               0

                Интеграл (3.13) также находится численно по формуле трапеций.
       Постоянные С1 , С 2 определяются из граничных условий. Например, для балки
(рис.3.5,а) из граничных условий V (l) = 0 , V (3l) = 0 следует, что
                                            ~      ~              ~        ~
                                           V (l) − V (3l)        3V (l) − V (3l)         (12.9)
                                      C1 =                , C2 =                   .
                                                 2l                     2
       При известных постоянных углы поворота и прогибы вычисляются по формулам
(12.7) и (12.8) соответственно. Так как главной частью расчета является вычисление
                       ~       ~
значений функций ϑ и V , то рассмотрим процедуру численного интегрирования. Балка
делится на n участков равной длины h = L / n , где L - длина балки (предполагается, что
границы участков совпадают с точками деления). Значения функций в этих точках
                     ~ ~                                 ~ ~
обозначаются χ i , ϑi , Vi . Искомые функции ϑ , V определяются последовательно в точках
                                                        ~
разбиения z1 , z 2 ,…, z n+1 . Сначала, положив ϑ1 = 0 по формуле трапеций вычисляем
                                 ~       ~ h( χ i + χ i +1 )
                                 ϑi +1 = ϑi +                ,          i = 1,2,..., n .
                                                    2                                    (12 10)
                           ~
       Затем, положив V1 = 0 , находим
                                           ~ ~
                           ~      ~ h(ϑi + ϑi +1 )
                          Vi +1 = Vi +                ,              i = 1,2,..., n .    (12 11
                                              2

                                    12.2. Описание программы

      Рассмотрим структуру программы, реализующую описанный выше алгоритм
определения углов поворота и прогибов балки. В программе предусмотрено вычисление
максимального напряжения в поперечных сечениях по формуле σ = M x / W x , где Wx –
момент сопротивления сечения при изгибе.
      Пример 12.1. Рассчитать стальную ( E = 2 ⋅ 1011 Па) балку, изображенную на рис. 12.2.
Размеры балки на чертеже даны в миллиметрах: сечение балки – прямоугольник, высота
которого Н=30 мм, а основание b1 является функцией координаты z , причем
                    при 0 ≤ z ≤ l       b1 = B ,
                                                 ( B − b)( z − l)             (12.13)
                    при l ≤ z ≤ 4l     b1 = B −
                                                        3l




                                              229