Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 257 стр.

          Глава 15. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН
                           15.1. Основные зависимости

      В машиностроении часто используют конструктивные элементы в виде круглых
пластин (днища, фланцы, крышки и т.п.).
      Если пластина обладает осевой симметрией и на нее действует осесимметричная
поперечная нагрузка, то пластина испытывает осесимметричный изгиб. В этом случае
прогибы являются функцией координаты - радиуса.




                                             А




                                Б                     В
                                          Рис.15.1

       Таким образом, элемент пластины (рис.15.1,в) оказывается нагруженным моментами
M r , M t и поперечной силой Q . Эти внутренние силовые факторы относятся к единице
длины сечения срединной поверхности пластины и поэтому имеют размерности: M r , M t -
[Нм/м], Q - [Н/м]. Моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение на
стороне пластины z > 0 , а сила Q > 0 , если она на внешнем контуре элемента направлена
против оси z . Нормальные напряжения в пластине связаны с моментами зависимостями
                                         12 M r          12M t
                                  σr =          z , σt =       z.             (15.1)
                                           h3             h3
       Поперечная сила в любом окружном сечении пластины, опертой на одну кольцевую
опору, может быть найдена из условия равновесия части пластины, вырезанной цилиндром
радиуса r
                                   1 r                             
                              Q=        ∫ p(r )2πrdr + ∑ P ⋅ 2πr  ,       (15.2)
                                  2πr r                k  k     pk 
                                       1                           
где r1 - радиус внутреннего контура, а выражение в прямых скобках представляет собой
суммарную внешнюю нагрузку, приложенную к ограниченной цилиндром радиуса r части
пластины (эта нагрузка положительная, если направлена по оси z ).
       Уравнение равновесия моментов, воздействующих на элемент (см.рис.15.1,в)
пластины, имеет вид
                                               d                            (15.3)
                                      M t − ( M r r ) = Qr .
                                              dr
       Моменты M r , M t выражаются через угол поворота ϑ нормали к срединной
поверхности по формулам:
                                     dϑ       ϑ           ϑ    dϑ 
                            M r = D       + v  , M t = D + v       ,   (15.4)
                                     dr       r           r    dr 



                                          257