Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 259 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

259
В табл.15.1 приведены возможные варианты граничных условий (ось z-я направлена
вниз). Для пластины без центрального отверстия граничное условие в центре при r=0 имеет
вид
.0=
ϑ
Однако при численном интегрировании это условие не используется, так как при r=0
некоторые коэффициенты системы обращаются в бесконечность. В связи с этим, начальное
значение независимой переменной r принимают равным малому числу а (а - <разгонный
участок>, обычно равный шаг интегрирования), а граничное условие
0=
ϑ
заменяют
следующим:
,)1(
ϑ
vDaM
r
+
=
где D-жесткость на изгиб в центре пластины.
Приведем краткий вывод условия (15.9). Вблизи центра пластины угол
ϑ
меняется
пропорционально радиусу
Br=
ϑ
(последующие члены разложения
ϑ
в степенной ряд
можно при малых r не учитывать). Поэтому при малом r имеем
rdrd //
ϑ
ϑ
= , и из первого
уравнения (15.4) следует условие (15.9).
Таблица 15.1
Таким образом, необходимо найти численное решение системы дифференциальных
уравнений (15.8), удовлетворяющее граничным условиям, два из которых, наложенные на
ϑ
или
r
M
, или на их комбинацию, формулируются на внутреннем и наружном контурах
пластины, и одно, наложенное на прогиб, - в месте ограничения прогиба.
Для решения этой краевой задачи используем метод начальных параметров [5].
Система уравнений (15.8) представляет собой систему линейных неоднородных (из-за
наличия слагаемого с Q) дифференциальных уравнений третьего порядка. Известно, что
решение такой системы складывается, вообще говоря, из трех линейно независимых
)(ry
i
)3,2,1( =i решений однородной системы и одного
)(
0
ry решения неоднородной.
Неоднородное решение удовлетворяет уравнению (15.8), а все однородные уравнению
).3,2,1( == iyF
dr
yd
i
i
Если вычислить все решения по отдельности и, подчинив
(15.9) 
       В табл.15.1 приведены возможные варианты граничных условий (ось z-я направлена
вниз). Для пластины без центрального отверстия граничное условие в центре при r=0 имеет
вид ϑ = 0.
       Однако при численном интегрировании это условие не используется, так как при r=0
некоторые коэффициенты системы обращаются в бесконечность. В связи с этим, начальное
значение независимой переменной r принимают равным малому числу а (а - <разгонный
участок>, обычно равный шаг интегрирования), а граничное условие ϑ = 0 заменяют
следующим:
                                         aM r = D(1 + v)ϑ ,                    (15.9)
где D-жесткость на изгиб в центре пластины.
       Приведем краткий вывод условия (15.9). Вблизи центра пластины угол ϑ меняется
пропорционально радиусу ϑ = Br (последующие члены разложения ϑ в степенной ряд
можно при малых r не учитывать). Поэтому при малом r имеем dϑ / dr = ϑ / r , и из первого
уравнения (15.4) следует условие (15.9).
                                                            Таблица 15.1




      Таким образом, необходимо найти численное решение системы дифференциальных
уравнений (15.8), удовлетворяющее граничным условиям, два из которых, наложенные на ϑ
или M r , или на их комбинацию, формулируются на внутреннем и наружном контурах
пластины, и одно, наложенное на прогиб, - в месте ограничения прогиба.
      Для решения этой краевой задачи используем метод начальных параметров [5].
Система уравнений (15.8) представляет собой систему линейных неоднородных (из-за
наличия слагаемого с Q) дифференциальных уравнений третьего порядка. Известно, что
решение такой системы складывается, вообще говоря, из трех линейно независимых yi (r )
(i = 1,2,3) решений однородной системы и одного y0 ( r ) решения неоднородной.
Неоднородное решение удовлетворяет уравнению (15.8), а все однородные уравнению
dyi
     = Fyi (i = 1,2,3). Если вычислить все решения по отдельности и, подчинив
 dr



                                           259

Страницы