Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 258 стр.

           Eh 3
где D =              [Нм]- жесткость пластины на изгиб.
        12(1 − v 2 )
      При изменяющейся, в зависимости от радиуса толщине пластины D - также функция
радиуса. Вывод формул (15.3) и (15.4) см. в [1].
      Для полного решения задачи необходимо использовать также геометрическую
зависимость
                                              dW
                                                   = −ϑ.                  (15.5)
                                               dr
      При решении задачи изгиба пластины будем определять в каждой ее точке три
основные величины – прогиб W ,угол поворота нормали ϑ и произведение момента M r на
текущий радиус r. Составив матрицу-столбец из этих величин Y = (W ,ϑ , rM r )T , назовем ее
вектором состояния. Действительно, три компонента этого вектора определяют не только
перемещения W, ϑ , но и изгибающие моменты, а следовательно, и напряжения. В самом
                                                  dϑ
деле, подставив во второе уравнение (15.4)            из первого, выразим M t через M r , ϑ :
                                                   dr
                                                           Eh 3 ϑ
                                             M t = vM r +      ⋅ .                      (15.6)
                                                           12 r
       Равенства (15.3…15.5) позволяют записать три дифференциальных уравнения первого
порядка относительно компонент вектора состояния
                     dW
                          = −ϑ ,
                      dr
                     dϑ       ϑ 1                                                       (15.7)
                         = −v +        (r ⋅ M r ) ,
                     dr        r Dr
                     d            Eh 3      v
                        (rM r ) =      ϑ + (rM r ) − Q ⋅ r .
                     dr           12r       r
       Первое из уравнений (15.7) совпадает с уравнением (15.5), второе есть разрешенное
относительно dϑ / dr первое из равенств (15.4), а третье – уравнение равновесия (15.3), в
которое подставлено значение M t по формуле (15.6).
       Поскольку левые части уравнений (15.7) – производные компонент вектора состояния,
а правые части линейно зависят от этих компонент, систему уравнений (15.7) можно
записать в виде одного матричного уравнения
                                      d
                                          y = Fy + g ,                              (15.8)
                                      dr
где матрица переменных коэффициентов F и вектор g выражаются формулами:
                            0      −1           0         0 
                            
                        F = 0    −v/r                g =  0 .
                                             1 /( Dr ),
                            0 Eh 3 /(12r )   v / r     − Qr 
      Решение системы (15.8) должно удовлетворять граничным условиям. Так как это
система третьего порядка, то число граничных условий равно трем. При этом на каждом из
контуров пластины (внутреннем и внешнем) должно быть задано ограничение либо на угол
поворота ϑ , либо на соответствующий этому углу изгибающий момент M r , либо, при
упругой заделке, граничное условие ставится на линейную комбинацию угла ϑ и момента
M r . Третьим граничным условием является условие W=0 на окружности, где расположена
опора.




                                                 258