Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 260 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

260
выражение
∑
=
+=
3
1
0
)()()(
i
ii
ryryCry граничным условиям, определить постоянные
i
C , то
задача будет решена.
Метод начальных параметров позволяет сократить количество вычисляемых решений
однородной задачи. Действительно, так как, по крайней мере, одно граничное условие задано
в начале интервала интегрирования (при
1
rr
=
или a
r
=
- для пластинки без отверстия), то
из трех постоянных
i
C независимыми оказываются лишь две, и решение, удовлетворяющее
указанному граничному условию, можно представить в виде
).()()()(
02211
ryryCryCry
+
+
=
При этом начальные значения
),(
11
ry ),(
12
ry )(
1
ry
d
должны быть заданы так,
чтобы граничное условие при
1
rr =
выполнялось при любых
1
C
,
2
C
.
Дополнительное упрощение связано с тем, что одно из решений однородной задачи
изгиба пластины очевидно, оно соответствует перемещению пластины как жесткой (
2
CW
=
)
при
0=
ϑ
, 0=
r
M .
Таким образом, окончательно
).()0,0,1()()(
0211
ryCryCry
T
++=
Рассмотрим теперь вопрос о выборе значений векторов
),(
11
ry
),(
10
ry
обеспечивающих тождественное выполнение наложенных на
ϑ
или
r
M граничных условий
при
1
rr = .
1.Поворот
0)(
1
=
r
ϑ
(контур
1
rr
=
жестко заделан или пластина связана с жестким
центром радиуса
1
r ). Условие выполняется, если принять
,)1,0,0()(
11
T
ry = .)0,0,0()(
10
T
ry =
2. Момент
0)(
1
=rM
r
(контур пластины
1
rr
=
свободен или шарнирно оперт), в
этом случае
,)0,1,0()(
11
T
ry =
T
ry )0,0,0()(
10
= .
3. Внутренний (
1
rr = ) контур нагружен моментом
e
t :
,)0,1,0()(
11
T
ry =
.),0,0()(
110
T
e
trry =
4. Пластина без отверстия. На границе «разгонного участка» (
a
r
= ) принимают
T
vDay ))1(,1,0()(
1
+= ,
T
ay )0,0,0()(
0
= ,
где D – жесткость пластины в центре.
Постоянную интегрирования
1
C
находят, подчиняя вектор решения на внешнем контуре
(
2
rr = ) )()0,0,1()()(
2022112
ryCryCry
T
++=
граничному условию, наложенному на угол поворота
ϑ
или радиальный момент
r
M .
Например, в случае свободного внешнего контура
0
=
r
M
постоянная
1
C
определяется из
следующего алгебраического уравнения 0)()(
2302311
=
+
ryryC (здесь первый из индексов
указывает номер компонента, второй – номер вектора). Вычислив
1
C определяют
2
C из
граничного условия, наложенного на прогиб. Пусть на окружности радиуса
0
rr = прогиб
равен нулю. Тогда справедливо следующее тождество:
0)()(
01020111
=++ ryCryC , или ),()(
01001112
ryryCC −
−
=
где )(
011
ry , )(
010
ry - первые компоненты векторов решений
1
y
и
0
y
при
0
rr =
.
Если закреплен внутренний контур пластины W(r1) = 0, то всегда С2 = 0.
(15.10) 
                    3
выражение y (r ) = ∑ Ci yi (r ) + y0 (r ) граничным условиям, определить постоянные Ci , то
                   i =1
задача будет решена.
       Метод начальных параметров позволяет сократить количество вычисляемых решений
однородной задачи. Действительно, так как, по крайней мере, одно граничное условие задано
в начале интервала интегрирования (при r = r1 или r = a - для пластинки без отверстия), то
из трех постоянных Ci независимыми оказываются лишь две, и решение, удовлетворяющее
указанному граничному условию, можно представить в виде
                             y (r ) = C1 y1 (r ) + C 2 y 2 (r ) + y0 (r ).
       При этом начальные значения y1 ( r1 ), y 2 ( r1 ), y d ( r1 ) должны быть заданы так,
чтобы граничное условие при r = r1 выполнялось при любых C1 , C 2 .
      Дополнительное упрощение связано с тем, что одно из решений однородной задачи
изгиба пластины очевидно, оно соответствует перемещению пластины как жесткой ( W = C 2 )
при ϑ = 0 , M r = 0 .
Таким образом, окончательно
                            y (r ) = C1 y1 (r ) + C 2 (1,0,0) T + y 0 (r ). (15.10)
       Рассмотрим         теперь    вопрос       о     выборе      значений       векторов   y1 (r1 ),   y0 (r1 ),
обеспечивающих тождественное выполнение наложенных на                          ϑ или M r граничных условий
при r = r1 .
       1.Поворот   ϑ (r1 ) = 0 (контур r = r1 жестко заделан или пластина связана с жестким
центром радиуса r1 ). Условие выполняется, если принять
                               y1 (r1 ) = (0,0,1)T ,             y0 (r1 ) = (0,0,0)T .
       2. Момент M r (r1 ) = 0 (контур пластины r = r1 свободен или шарнирно оперт), в
этом случае
                          y1 (r1 ) = (0,1,0)T , y0 (r1 ) = (0,0,0)T .
       3. Внутренний ( r = r1 ) контур нагружен моментом t e :
                         y1 (r1 ) = (0,1,0)T ,         y0 (r1 ) = (0,0, r1t e )T .
       4. Пластина без отверстия. На границе «разгонного участка» ( r = a ) принимают
                          y1 (a ) = (0,1, D(1 + v))T ,  y0 (a) = (0,0,0) T ,
где D – жесткость пластины в центре.
  Постоянную интегрирования C1 находят, подчиняя вектор решения на внешнем контуре
                            ( r = r2 )     y (r2 ) = C1 y1 (r2 ) + C2 (1,0,0)T + y0 (r2 )
граничному условию, наложенному на угол поворота    ϑ или радиальный момент M r .
Например, в случае свободного внешнего контура M r = 0 постоянная C1 определяется из
следующего алгебраического уравнения C1 y31 (r2 ) + y30 (r2 ) = 0 (здесь первый из индексов
указывает номер компонента, второй – номер вектора). Вычислив C1 определяют C 2 из
граничного условия, наложенного на прогиб. Пусть на окружности радиуса r = r0 прогиб
равен нулю. Тогда справедливо следующее тождество:
            C1 y11 (r0 ) + C2 + y10 (r0 ) = 0 , или C2 = −C1 y11 (r0 ) − y10 (r0 ),
где y11 (r0 ) , y10 (r0 ) - первые компоненты векторов решений y1 и y 0 при r = r0 .
Если закреплен внутренний контур пластины W(r1) = 0, то всегда С2 = 0.




                                                        260

Страницы