Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 139 стр.

ствовали бы значению θ. Действительно, мы еще не
внаем, что является наилучшей оценкой для Eξ—ста-
тистическое математическое ожидание Е*ξ, мода Моξ
или медиана Меξ. Аналогично мы не можем сказать,
что точнее всего оценивает Dξ—статистическая дис-
персия D*ξ, вариационный размах r* или среднее
линейное отклонение d*.
   В математической статистике к точечным оценкам
параметров предъявляют три требования.
   Состоятельность точечной оценки для θ означает,
что для любого положительного числа ε выполняется
равенство limP(|θ — θ*|< ε) = 1, которое означает,
что при большом объеме выборки отклонения θ* от
истинного значения θ будут практически маловероят-
ны. Иными словами, параметр θ* с любой степенью
точности приближает значение 0 почти наверняка
при большом объеме выборки. Доказательство состоя-
тельности точечных оценок Еξ ≈ Е*ξ, Dξ ≈ D*ξ доста-
точно сложно, поэтому мы его не приводим.
   Несмещенность точечной оценки означает, что
E(θ*) = θ. Иными словами, несмещенность оценки
гарантирует отсутствие систематической ошибки
в вычислениях. Докажем несмещенность точечной
оценки для математического ожидания, т. е. убедимся
в равенстве Е(Е*ξ) = Eξ.
   Так как Е Х I = Eξ для всех i = 1, ... , k и E*ξ =
= (x 1 + ... + x k )/k, то




Несмещенность точечной оценки Dξ ≈ D*ξ, вообще
говоря, не имеет места для выборок малого объема
(k ≤ 50), Несмещенной оценкой дисперсии Dξ служит
           k
величина — D*ξ. При больших объемах выборки
           k-1
смещенность D*ξ мала, и ею обычно пренебрегают.
   Эффективность точечной оценки означает, что D (θ*)
минимальная. Например, точечная оценка Eξ ≈ Е*ξ
эффективна (мы не будем этого доказывать), и мини-
мальность D(E*ξ) означает, что для любой другой
                                                  139