ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
R
m
R
o
o
P = {x ∈ R
m
| x > 0} N = {x ∈ R
m
| x 6 0}
e
P ∪ 0
o
(b) = {x ∈ R
m
| x = λb, λ > 0}
o
(b)
∗
= {x ∈ R
m
| xb 6 0}
o
C = {x ∈ R
m
| xA 6 0} A
m × n
o
C
∗
= {x ∈ R
m
| y = Ax, x > 0} = {x ∈ R
m
| y =
P
n
j=1
λ
j
a
j
, λ
j
> 0}
C
C
1
+ C
2
= {x ∈ R
m
| x = x
1
+ x
2
, x
i
∈ C
i
}
C
1
∩ C
2
C C
∗
= {y ∈ R
m
| xy 6 0 ∀x ∈ C}
o o
C C
∗
o o
C
1
⊆ C
2
⇒ C
∗
2
⊆ C
∗
1
,
2) (C
1
+ C
2
)
∗
= C
∗
1
∩ C
∗
2
,
3) (C
1
∩ C
2
)
∗
⊇ C
∗
1
+ C
∗
2
,
4) C ⊆ C
∗∗
C
1
⊆ C
2
y ∈ C
∗
2
xy 6 0
x ∈ C
2
x ∈ C
1
C
∗
2
⊆ C
∗
1
y ∈ (C
1
+C
2
)
∗
x
i
∈ C
i
, i = 1, 2 (x
1
+x
2
)y 6 0
x
1
y 6 0 x
2
y 6 0 y ∈ C
∗
1
∩C
∗
2
(C
1
+C
2
)
∗
⊆ C
∗
1
∩C
∗
2
y ∈ C
∗
1
∩ C
∗
2
x
i
y 6 0 i = 1, 2 (x
1
+ x
2
)y 6 0
Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà
Ñîäåðæàíèå.
1. Âûïóêëûå êîíóñû.
2. Òåîðåìà î ðàçäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòè.
3. Êîíå÷íûå êîíóñû.
4. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ íåðàâåíñòâ.
5. Çàîñòðåííûå êîíóñû. Êðàéíèå âåêòîðû è ðåøåíèÿ.
6. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ìíîãîãðàííèêè.
7. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ïðîèçâîëüíîãî âèäà.
1. Âûïóêëûå êîíóñû.
Âûïóêëûé êîíóñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Rm ïîäìíîæåñòâî çàìêíóòîå îòíîñè-
òåëüíî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî (èç R ).
Ïðèìåðû:
1 o Ïîäïðîñòðàíñòâî,
2 o Îðòàíòû P = {x ∈ Rm | x > 0} (íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò) è N = {x ∈ Rm | x 6 0}
(íåïîëîæèòåëüíûé îðòàíò), ïîëîæèòåëüíûé îðòàíò ñ íóëåì ( Pe ∪ 0 ).
3 o (b) = {x ∈ Rm | x = λb, λ > 0} ïîëóïðÿìàÿ,
4 o (b)∗ = {x ∈ Rm | xb 6 0} ïîëóïðîñòðàíñòâî,
5 o C = {x ∈ Rm | xA 6 0} ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ( A
ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà m × n ),
6 o C ∗ = {x ∈ Rm | y = Ax, x > 0} = {x ∈ Rm | y = nj=1 λj aj , λj > 0} ñóììà
P
ïîëóïðÿìûõ (äâîéñòâåííûé ê C êîíóñ).
Îïåðàöèè íàä êîíóñàìè:
1) ñëîæåíèå: C1 + C2 = {x ∈ Rm | x = x1 + x2 , xi ∈ Ci } ,
2) ïåðåñå÷åíèå: C1 ∩ C2 ,
3) äâîéñòâåííûé ê C êîíóñ C ∗ = {y ∈ Rm | xy 6 0 ∀x ∈ C} .
Ïðèìåðû: Äâîéñòâåííûå êîíóñû â ïðèìåðàõ 1 o 6 o (äâîéñòâåííîñòü C è C ∗ (èç
5 o è 6 o ) áóäåò äîêàçàíà íèæå).
Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàöèé:
1) C1 ⊆ C2 ⇒ C2∗ ⊆ C1∗ ,
2) (C1 + C2 )∗ = C1∗ ∩ C2∗ ,
3) (C1 ∩ C2 )∗ ⊇ C1∗ + C2∗ ,
4) C ⊆ C ∗∗ .
Äîêàçàòåëüñòâîâî. 1) Ïóñòü C1 ⊆ C2 . Åñëè y ∈ C2 , òî xy 6 0 äëÿ âñÿêîãî
∗
x ∈ C2 â òîì ÷èñëå è äëÿ âñÿêîãî x ∈ C1 , ò.å. C2∗ ⊆ C1∗ .
2) Ïóñòü y ∈ (C1 +C2 )∗ ; òîãäà äëÿ ëþáûõ xi ∈ Ci , i = 1, 2 , èìååì (x1 +x2 )y 6 0 ; â
÷àñòíîñòè, x1 y 6 0 è x2 y 6 0 , ò.å. y ∈ C1∗ ∩C2∗ . Ñëåäîâàòåëüíî, (C1 +C2 )∗ ⊆ C1∗ ∩C2∗ .
Îáðàòíî, ïóñòü y ∈ C1∗ ∩ C2∗ , ò.å. xi y 6 0 äëÿ i = 1, 2 , íî òîãäà è (x1 + x2 )y 6 0 , ò.å.
1
