ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
y ∈ (C
1
+ C
2
)
∗
C
∗
1
∩ C
∗
2
⊆ (C
1
+ C
2
)
∗
(C
1
+ C
2
)
∗
= C
∗
1
∩ C
∗
2
z ∈ (C
1
∩ C
2
)
∗
xz 6 0 x ∈ (C
1
∩ C
2
)
y ∈ (C
∗
1
+ C
∗
2
) y = y
1
+ y
2
y
i
∈ C
∗
i
, (i = 1, 2) x
i
y
i
6 0
x
i
∈ C
i
xy = xy
1
+ xy
2
6 0 x ∈ (C
1
∩ C
2
)
z ∈ C
∗
∗
yz 6 0 y ∈ C
∗
C
∗
x ∈ C C ⊆ C
∗
∗
C
1
P C
2
x
C
1
∩ C
2
= {0} (C
1
∩ C
2
)
∗
C
∗
1
= N C
∗
2
x 6 0 C
∗
1
+ C
∗
1
= C
∗
1
(C
1
∩ C
2
)
∗
⊃ C
∗
1
+ C
∗
1
C
∗
1
∗
= P C ⊂ C
∗
1
∗
A
m × n
1
o
x ∈ R
m
xA = b
2
o
y ∈ R
n
Ay = 0, by = 1
x y
xA = b Ay = 0, by = 1 xAy = by
xAy = 0 Ay = 0 by = 1
xA = b
A
b y
0
∈ R
n
Ay
0
= 0 by
0
= µ 6= 0 y =
1
µ
y
0
2
o
1
o
x ∈ R
m
xA = b, x > 0
2
o
y ∈ R
n
Ay 6 0, by > 0
x y
xA = b, x > 0 Ay 6 0, by > 0 xAy =
by xAy 6 0 x > 0 Ay 6 0 by > 0
xA = b, x > 0
m Ay 6 0, by > 0
xA = b
x
x 6 0
m = 1 A = a
1
ξa
1
= b ξ < 0 y = −b
by = −b
2
< 0 a
1
y =
by
ξ
=
−b
2
ξ
> 0 y = −b
m
x
1
A
1
= b
A
y ∈ (C1 + C2 )∗ . Ñëåäîâàòåëüíî, C1∗ ∩ C2∗ ⊆ (C1 + C2 )∗ è (C1 + C2 )∗ = C1∗ ∩ C2∗ .
3) Åñëè z ∈ (C1 ∩ C2 )∗ , òî xz 6 0 äëÿ êàæäîãî x ∈ (C1 ∩ C2 ) .  ÷àñòíîñòè, åñëè
y ∈ (C1∗ + C2∗ ) , ò.å. y = y1 + y2 , ãäå yi ∈ Ci∗ , (i = 1, 2) , ò.å. xi yi 6 0 äëÿ âñÿêîãî
xi ∈ Ci , òî xy = xy1 + xy2 6 0 , êîãäà x ∈ (C1 ∩ C2 ) .
4) z ∈ C ∗ ∗ îçíà÷àåò, ÷òî yz 6 0 äëÿ âñÿêîãî y ∈ C ∗ . Íî ïî îïðåäåëåíèþ C ∗ ,
ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò êàæäûé ýëåìåíò x ∈ C , ò.å. C ⊆ C ∗ ∗ .
Ïðèìåðû. 1. C1 ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè äîïîëíåí-
íîå íóëåì (ò.å. P áåç îñåé, íî ñ íóëåì); C2 ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóîñü x -îâ. Òîãäà
C1 ∩ C2 = {0} è (C1 ∩ C2 )∗ âñÿ ïëîñêîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, C1∗ = N , C2∗
ïîëóïëîñêîñòü ( x 6 0 ) è C1∗ + C1∗ = C1∗ ïîëóïëîñêîñòü, ò.å. (C1 ∩ C2 )∗ ⊃ C1∗ + C1∗
(áåç ñîâïàäåíèÿ). 2. C1∗ ∗ = P , ò.å. C ⊂ C1∗ ∗ (îïÿòü áåç ñîâïàäåíèÿ).
2. Òåîðåìà î ðàçäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòè.
Ëåììà 1. (Àëüòåðíàòèâíàÿ ôîðìà òåîðåìû Êðîíåêåðà-Êàïåëëè.) Ïóñòü A
m × n -ìàòðèöà. Èìååò ìåñòî àëüòåðíàòèâà:
1o ëèáî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ò.å. x ∈ Rm òàêîé, ÷òî) xA = b ,
2o ëèáî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ò.å. y ∈ Rn òàêîé, ÷òî) Ay = 0, by = 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñîâìåñòèìîñòü. Îäíîâðåìåííîå ñóùåñòâîâàíèå x è y òàêèõ,
÷òî xA = b è Ay = 0, by = 1 âëå÷åò ïðîòèâîðå÷èâîå ðàâåíñòâî xAy = by , â êîòîðîì
xAy = 0 (ò.ê. Ay = 0 ), à by = 1 .
Àëüòåðíàòèâíîñòü. Åñëè xA = b íå èìååò ðåøåíèÿ, òî ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-
Êàïåëëè íå âñÿêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ñòîëáöàìè ìàòðèöû A ïåðåíîñèòñÿ íà ñòðîêó
b , ò.å. ñóùåñòâóåò y 0 ∈ Rn òàêîé, ÷òî Ay 0 = 0 , à by 0 = µ 6= 0 . Òîãäà y = µ1 y 0 ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì 2o .
Òåîðåìà 1. (Î ðàçäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòè.) Èìååò ìåñòî àëüòåðíàòèâà:
1o ëèáî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ò.å. x ∈ Rm òàêîé, ÷òî) xA = b, x > 0 (1),
2o ëèáî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ò.å. y ∈ Rn òàêîé, ÷òî) Ay 6 0, by > 0 (2).
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñîâìåñòèìîñòü. Åñëè ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî x è y òàêèå,
÷òî xA = b, x > 0 è Ay 6 0, by > 0 , òî èìååì ïðîòèâîðå÷èâîå ðàâåíñòâî xAy =
by , â êîòîðîì xAy 6 0 (ò.ê. x > 0 è Ay 6 0 ), à by > 0 .
Àëüòåðíàòèâíîñòü. Ïóñòü ñèñòåìà xA = b, x > 0 íå èìååò ðåøåíèÿ. Äîêàæåì
èíäóêöèåé ïî m , ÷òî ñèñòåìà Ay 6 0, by > 0 ðåøåíèå èìååò.
Åñëè ñèñòåìà xA = b íå èìååò âîîáùå íèêàêîãî ðåøåíèÿ, òî óòâåðæäåíèå òåî-
ðåìû ñëåäóåò èç ëåììû 1. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå x ñóùåñòâóåò, íî
x 6 0.
Ñëó÷àé m = 1 . A = a1 îäíà ñòðîêà è, åñëè ξa1 = b , òî ξ < 0 . Ïðè y = −b
2
èìååì by = −b2 < 0 è a1 y = byξ = −bξ > 0 , ò.å. y = −b åñòü ðåøåíèåì ñèñòåìû (2).
Îáùèé ñëó÷àé. Èíäóêöèÿ ïî m . Ðàññìîòðèì äâå âñïîìîãàòåëüíûå ñèñòåìû. Ïåð-
âàÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ñèñòåìà x1 A1 = b (3) ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé îòáðàñûâàíè-
åì îäíîé (áóäåì ñ÷èòàòü ïîñëåäíåé) ñòðîêè â ìàòðèöå A . Åñëè ñèñòåìà (3) èìååò
2
